Алгебраическая независимость

Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей.

Пусть $L$ некоторое расширение поля $K$. Элементы $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена $P(x_{1},\ldots ,x_{n})$ с коэффициентами из поля $K$

$P(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})\neq 0$.

В другом случае элементы $(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда $L$ — кольцо и $K$ — его подкольцо.

Алгебраическая независимость известных констант

Пусть константы $e$ и $\pi$ известны как трансцендентные, однако неизвестно, является ли их множество алгебраически независимым над $\mathbb {Q}$. Неизвестно даже, иррационально ли $\pi +e$. Нестеренко доказал в 1996 году, что:

• числа $\pi$, $e^{\pi }$ и $\Gamma (1/4)$ алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$;
• числа $e^{\pi {\sqrt {3}}}$ и $\Gamma (1/3)$ алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$;
• для всех положительных целых чисел $n$, число $e^{\pi {\sqrt {n}}}$ алгебраически независимы над $\mathbb {Q}$.

Пример

Подмножество $\{{\sqrt {\pi }};2\pi +1\}$ поля вещественных чисел $\mathbb {R}$ не является алгебраически независимым над полем $\mathbb {Q}$, поскольку многочлен $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ является нетривиальным с рациональными коэффициентами и $P({\sqrt {\pi }},2\pi +1)=0$.

См. также

• Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Ссылки

• Chen, Johnny. Algebraically Independent (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.