Березиниан

В математике и теоретической физике, березиниан или супердетерминант является обобщением определителя на случай суперматриц. Назван в честь Феликса Березина. Березиниан играет роль, аналогичную определителю, когда рассматриваются изменения координат для интеграции на супермногообразии.

Определение

Березиниан однозначно определяется двумя определяющими свойствами:

• $\operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)$
• $\operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }$

где str(X) обозначает суперслед от X. В отличие от классического определителя, березиниан определён только для обратимых суперматриц.

Свойства

• Березиниан из X всегда является единицей кольца R₀.
• $\operatorname {Ber} (X)^{-1}=\operatorname {Ber} (X^{-1})$
• $\operatorname {Ber} (X^{T})=\operatorname {Ber} (X)$ где $X^{T}$ обозначает супертранспозицию X.
• $\operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)$