Циклическая группа

Циклическая группа — группа $(G,\cdot )$ , которая может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: $G=\langle a\rangle$ .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени $g^{n}$ будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению $(\mathbb {Z} ,+).$

Свойства править

Все циклические группы абелевы.
Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе $\mathbb {Z} _{n}$ = $\{0,1,\dots ,n-1\}$ со сложением по модулю n (её также обозначают $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ ), а каждая бесконечная — изоморфна $\mathbb {Z}$ , группе целых чисел по сложению.
- В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
Каждая подгруппа циклической группы циклична.
У циклической группы порядка n существует ровно $\varphi (n)$ (функция Эйлера) порождающих элементов.
Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
Прямое произведение двух циклических групп порядков $n$ и $m$ циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
- Например, $\mathbb {Z} _{12}$ изоморфна $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$ , но не изоморфна $\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$ .
Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ , где p — простое число, или $\mathbb {Z}$ .
Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
Кольцо эндоморфизмов группы $\mathbb {Z} _{n}$ изоморфно кольцу $\mathbb {Z} _{n}$ . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм $\mathbb {Z} _{n}$ , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, тогда и только тогда, когда r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов $\mathbb {Z} _{n}$ изоморфна $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$ .

Примеры править

Группа корней из единицы степени n по умножению.
Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F, группой Галуа которого будет G.

Доказательства править

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть $G$ — циклическая группа и $H$ — подгруппа группы $G$ . Если группа $G$ тривиальна (состоит из одного элемента), то $H=G$ и $H$ циклична. Если $H$ — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то $H$ циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что $G$ и $H$ не являются тривиальными.

Пусть $g$ — образующий элемент группы $G$ , а $n$ — наименьшее положительное целое число, такое что $g^{n}\in H$ . Утверждение: $H=\langle g^{n}\rangle$

$\langle g^{n}\rangle \subseteq H$: ${\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}$; $g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H$; Следовательно, $\langle g^{n}\rangle \subseteq H$ .
$H\subseteq \langle g^{n}\rangle$: Пусть $h\in H$ .; $h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}$ .; Согласно алгоритму деления с остатком $\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r$; $h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}$ .; $h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H$ .; Исходя из того, каким образом мы выбрали $n$ и того, что $0\leq r\leq n-1$ , делаем вывод, что $r=0$ .; $r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle$ .; Следовательно, $H\subseteq \langle g^{n}\rangle$ .