Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение

Рассмотрим D=Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида $\alpha =a+b\,i$, где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D, с нормой $N\pi$. Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0$, если $\alpha$ делится на $\pi$.
• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$, если $\alpha$ не делится на $\pi$ и $N\pi =2$.
• Во всех остальных случаях $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}$ — одно из значений $\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$, лежащее в классе вычетов $\alpha ^{(N\pi -1)/4}\mod \pi$ (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности

Назовём $\alpha$, не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала $((1+i)^{3})$. При этом неединица $\alpha =a+b\,i$ примарна тогда и только тогда, когда $a\equiv 1{\pmod {4}}$, $b\equiv 0{\pmod {4}}$ или $a\equiv 3{\pmod {4}}$, $b\equiv 2{\pmod {4}}$.

Пусть $\pi$ и $\theta$ — взаимно простые примарные элементы в D, тогда

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{4}(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}$

Другие свойства характера биквадратичного вычета

• $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ тогда и только тогда, когда сравнение $x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }$ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда $\alpha$ — биквадратичный вычет
• Мультипликативность: $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}\cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
• Периодичность: если $\alpha \equiv \beta \mod {\pi }$, то $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
• Если $\pi =a+bi$ — простое примарное, то $\left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$

Список литературы

• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.

• Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.