Билинейная форма

Пусть $L$ есть векторное пространство над полем $K$ (чаще всего рассматриваются поля $K=\mathbb {R}$ или $K=\mathbb {C}$).

Билинейной формой называется функция $F\colon L\times L\to K$, линейная по каждому из аргументов:

$F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)$,

$F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)$,

$F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)$,

$F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)$,

здесь $x,y,z\in L$ и $\lambda \in K.$

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, $\mathbb {R} ^{n}$) чаще используется другое определение.

Пусть $L$ есть множество векторов вида $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ где $x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}$.

Билинейными формами называются функции $F\colon L\times L\to K$ вида

$F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j},$

где $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),$ а $a_{ij}$ — некоторые константы из поля $K.$

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по $n$ переменных компонент в каждом, являющаяся однородным многочленом первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.

Связанные определения

• Билинейная форма $F$ называется симметричной, если $F(x,\,y)=F(y,\,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Билинейная форма $F$ называется кососимметричной (антисимметричной), если $F(x,\,y)=-F(y,\,x)$ для любых векторов $x,y\in L$.
• Вектор $x\in L$ называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству $M\subset L$ относительно $F$, если $F(x,\,y)=0$ для всех $y\in M$. Совокупность векторов $x\in L$, ортогональных подпространству $M\subset L$ относительно данной билинейной формы $F$, называется ортогональным дополнением подпространства $M\subset L$ относительно $F$ и обозначается $M^{\perp }$.
• Радикалом билинейной формы $F$ называется ортогональное дополнение самого пространства $L$ относительно $F$, то есть совокупность $L^{\perp }$ векторов $x\in L$, для которых $F(x,\,y)=0$ при всех $y\in L$.

Свойства

• Множество всех билинейных форм $W(L,L)$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе $e_{1},\ldots ,e_{n}$ в $L$ любая билинейная форма $F$ однозначно определяется матрицей

${\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},$

так что для любых векторов $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ и $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$

$F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},$

то есть

$F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).$

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства $W(L,L)$ есть $\dim W(L,L)=(\dim L)^{2}$.
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы $F$ зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы $F$. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен $\dim L$.
• Для любого подпространства $M\subset L$ ортогональное дополнение $M^{\perp }$ является подпространством $M^{\perp }\subset L$.
• $\dim L^{\perp }=\dim L-r$, где $r$ — ранг билинейной формы $F$.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе $X^{i}$ выражаются через координаты в новом $x^{i}$ через матрицу $\beta$ $X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}$, или в матричной записи $X=\beta x$, то билинейная форма $F$ на любых векторах $x$ и $y$ запишется, как

$F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

$f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}$,

или, в матричной записи:

$f=\beta ^{T}F\beta$,

$\beta =\alpha ^{-1}$, где $\alpha$ — матрица прямого преобразования координат $x=\alpha X$.

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из универсального свойства тензорного произведения следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)$, где k — основное поле.

Так как функтор тензорного произведения и функтор Hom являются сопряженными, ${\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))$, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из $V$ в двойственное пространство $V^{*}$. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

$B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )$

$B_{2}({\mathsf {v}})=B(\cdot ,{\mathsf {v}})$.

См. также

• Квадратичная форма
• Билинейная операция
• Билинейное преобразование

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.