Биполярная система координат

Биполярные координаты — ортогональная система координат на плоскости, основанная на кругах Аполлония. Для перехода из биполярных координат в декартовы координаты, служат следующие формулы:

Биполярная система координат

Окружности Аполлония

$\left\{{\begin{matrix}x={\frac {a\,\mathrm {sh} \,\tau }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\\y={\frac {a\sin \sigma }{\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma }}\end{matrix}}\right.$

где $0\leqslant \sigma <\pi$, $-\infty <\tau <\infty$.

Коэффициенты Ламе:

$L_{\tau }=L_{\sigma }={\frac {a^{2}}{(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}}.$

Оператор Лапласа в биполярных координатах:

$\Delta f={\frac {(\mathrm {ch} \,\tau -\cos \sigma )^{2}}{a^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \tau ^{2}}}\right).$

В пространстве биполярные координаты обобщаются бисферическими.

См. также

• Тороидальные координаты
• Биангулярные координаты