Внутренняя метрика — метрика в пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфимум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения править

Метрика   на пространстве   называется внутренней, если для любых двух точек   расстояние между ними определяется формулой   где   обозначает длину пути   и точная нижняя грань берётся по всем путям  , соединяющим точки  .

Связанные определения править

  • Пусть   — две произвольные точки метрического пространства   и   — произвольное положительное число. Точка   называется их  -серединой, если  
  • Метрическое пространство   называется геодезическим, если любые две точки   можно соединить кратчайшей.

Свойства править

  • Если   — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек   и любого   существует их  -середина.
    • Лемма Менгера: В случае, когда метрическое пространство   полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек   и любого   существует их  -середина, то эта метрика внутренняя.
  • Полное метрическое пространство   с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек   и   найдётся кривая длины   соединяющая точки   и  .
  • В полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
  • Теорема Хопфа — Ринова: Если  локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки   можно соединить кратчайшей. Более того, пространство   является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества   являются компактными).
  • Локально компактное пространство с внутренней метрикой является геодезическим.

Примеры править

Литература править

  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4