Возвратное уравнение

Возвратное уравнение — алгебраическое уравнение от одной переменной вида

$\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\dots$

$\dots +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\dots$

$\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}=0$

для нечётной степени $2n+1$ и

$\sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\dots$

$\dots +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\dots$

$\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0$

для чётной степени $2n$, где $a_{0}\neq 0$. Возвратным многочленом называется многочлен, приравнивающийся к нулю в возвратном уравнении.

Альтернативный способ определения

Многочлен $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ $a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$ нечётной степени $2n+1$ называется возвратным, если для некоторого $\lambda \neq 0$ равенство ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda ^{2(n-k)+1}$ верно при любом $k$.
Многочлен $\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ $a_{2n}x^{2n}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}$ чётной степени $2n$ называется возвратным, если для некоторого $\lambda \neq 0$ равенство ${\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(n-k)}$ верно при любом $k$.

Частные случаи

• В случае, если $\lambda =1$, то есть последовательность коэффициентов возвратного многочлена симметрична (является палиндромом), уравнение называется симметрическим или симметричным. Если речь идёт о многочлене, участвующем в уравнении, он называется симметричным (не путать с симметрическим многочленом).

Понижение степени и нахождение корней

Любой возвратный многочлен $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ нечётной степени $2n+1$ имеет корень $-\lambda$ и представляется в виде произведения линейного многочлена $(x+\lambda )$ и многочлена $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}{\Big (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Big )}{\Big )}=$ $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )}$, имеющего чётную степень $2n$ и являющегося возвратным.

Доказательство

Докажем, что многочлен $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits _{t=0}^{2n-2k}((-1)^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Big )}$ является возвратным. Его можно переписать в виде $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{t-k}x^{t}\lambda ^{2n-k-t}){\Big )}$, и теперь для $t$ и ${2n-t}$ в суммировании участвуют одни и те же $k$. Тогда коэффициенты при $x^{t}$ и $x^{2n-t}$ разбиваются на пары $a_{k}(-1)^{t-k}\lambda ^{2n-k-t}$ и $a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)}$ с равными друг другу $k$. Отношение чисел любой такой пары равно ${\frac {a_{k}(-1)^{t-k}\lambda ^{2n-k-t}}{a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(t-k)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-k-t)-(2n-k-(2n-t))}=$ $(-1)^{2(t-n)}\lambda ^{2(n-t)}=$ $\lambda ^{2(n-t)}$, следовательно, отношение суммарных коэффициентов при $x^{t}$ и $x^{2n-t}$ равно тому же числу $\lambda ^{2(n-t)}$, а значит, по указанному выше альтернативному определению наш многочлен является возвратным, а число, роль которого в изначальном многочлене нечётной степени играла $\lambda$, здесь играет $\lambda ^{2}$.

Рассмотрим теперь возвратный многочлен $\sum _{k=0}^{n}(a_{n-k}(x^{n+k}+x^{n-k}\lambda ^{k}))$ чётной степени $2n$. По определению возвратного многочлена $a_{0}\lambda ^{n}\neq 0$, следовательно, ноль не является его корнем и его можно переписать в виде $x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}$, где сумму $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}$ можно переписать в виде многочлена относительно $t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}$ степени $n$.

Доказательство

Докажем при помощи полной индукции по $n$, что любую симметричную относительно замены $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$ сумму $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}$ можно переписать в виде многочлена относительно $t={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}$. База: $\sum _{k=0}^{1}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ ${\Big (}a_{1}{\Big (}x^{0}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{0}{\Big )}+{\Big (}a_{0}{\Big (}x^{1}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{1}{\Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$. Переход: предположим, данное утверждение верно для всех степеней, меньших данного $n$. Выражение $t^{n}={\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ симметрично относительно замены $x\leftrightarrow {\frac {\lambda }{x}}$, причём разность его с $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ имеет максимальную степень переменной $n-1$ и также симметрична относительно указанной замены, а значит, по предположению индукции представима в виде многочлена относительно $t$ степени $n-1$. Тогда выражение $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ является разностью выражений ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ и ${\Big (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}-{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )}$, каждое из которых представляется в виде многочлена относительно $t$ степени не больше $n$, следовательно, и само выражение $x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}$ также представляется в виде такого многочлена. Тогда $\sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}=$ $a_{0}{\Big (}x^{n}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{n}{\Big )}+\sum _{k=0}^{n-1}{\Big (}a_{n-k}{\Big (}x^{k}+{\Big (}{\frac {\lambda }{x}}{\Big )}^{k}{\Big )}{\Big )}$, где первая часть представляется в виде многочлена относительно $t$ степени не больше $n$ по доказанному выше, а вторая — по предположению индукции, следовательно, изначальное выражение также представляется в виде многочлена относительно $t$ степени не больше $n$.

Найдя все корни $t_{i}$ полученного уравнения и решив все уравнения вида $t_{i}=x+{\frac {\lambda }{x}}$ относительно $x$, получаем корни изначального возвратного уравнения $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$.

Разрешимость в радикалах

Как было показано выше, возвратные уравнения степеней $2n$ и $2n+1$ сводятся к решению уравнений степени $n$, которые разрешимы в радикалах вплоть до $n=4$ по теореме Абеля-Руффини. При этом выражение ${\Big (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}{\Big )}/2$, позволяющее получить корни возвратного уравнения (кроме $(-\lambda )$ для нечётной степени) через корни полученного выше уравнения степени $n$ относительно $t$, является алгебраическим. Следовательно, возвратные уравнения, сводящиеся к уравнениям относительно $t$ степени не более $4$, разрешимы в радикалах, а к таким возвратным уравнениям относятся те, чья степень не превышает $9$.

Ссылки

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials (англ.) на MathPages.