Выпуклая функция

Выпуклая функция — функция, надграфик или подграфик которой является выпуклым множеством.

Выпуклая функция, её график выделен синим, и надграфик закрашен зелёным.

Выпуклый надграфик означает, что отрезок между любыми двумя точками графика функции в векторном пространстве лежит не ниже соответствующей дуги графика; иногда такую функцию называют выпуклой вниз. Выпуклой вверх или вогнутой называют функцию с выпуклым подграфиком; некоторыми авторами вогнутыми называются выпуклые вниз функции.

Понятие имеет важное значение для классического математического анализа и функционального анализа, где особо изучаются выпуклые функционалы, а также для таких приложений, как теория оптимизации, где выделяется специализированный подраздел — выпуклый анализ.

Неравенство Йенсена в определении выпуклой функции

Определения

Формально, для числовой функции на некотором интервале (в общем случае — на выпуклом подмножестве некоторого векторного пространства) выпуклость (вниз) можно определить как выполнение неравенства Йенсена — если для любых двух значений аргумента $x$, $y$ и для любого числа $t\in \left[0,1\right]$ имеет место:

$f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)$.

Если неравенство Йенсена выполняется в строгом варианте для всех $t\in \left(0,1\right)$ и $x\neq y$, то функция называется строго выпуклой. Если выполняется обратное неравенство, функция называется вогнутой (соответственно, строго вогнутой для строгого случая).

Если для некоторого $\varepsilon >0$ выполняется более сильное неравенство:

$f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y\right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|x-y\right|^{2}$,

то функция называется сильно выпуклой.

Свойства

Функция $f$, выпуклая на интервале $\mathbb {I}$, непрерывна на всём $\mathbb {I}$, дифференцируема на всём $\mathbb {I}$ за исключением не более чем счётного множества точек и дважды дифференцируема почти всюду.

Любая выпуклая функция является субдифференцируемой (имеет субдифференциал) на всей области определения.

У выпуклой функции через любую точку проходит опорная гиперплоскость её надграфика.

Непрерывная функция $f$ выпукла на $\mathbb {I}$ тогда и только тогда, когда для всех точек $x,y\in \mathbb {I}$ выполняется неравенство:

$f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}}$

Непрерывно дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её график лежит не ниже касательной (опорной гиперплоскости), проведённой к этому графику в любой точке промежутка выпуклости.

Выпуклая функция одной переменной на интервале имеет левую и правую производные; левая производная в точке меньше или равна правой производной; производная выпуклой функции — неубывающая функция.

Дважды дифференцируемая функция одной переменной выпукла на интервале тогда и только тогда, когда её вторая производная неотрицательна на этом интервале. Если вторая производная дважды дифференцируемой функции строго положительна, такая функция является строго выпуклой, однако обратное неверно (например, функция $f\left(x\right)=x^{4}$ строго выпукла на $\left[-1,1\right]$, но её вторая производная в точке $x=0$ равна нулю).

Если функции $f$, $g$ выпуклы, то любая их линейная комбинация $af+bg$ с положительными коэффициентами $a$, $b$ также выпукла.

Локальный минимум выпуклой функции является также глобальным минимумом (соответственно, для выпуклых вверх функций локальный максимум является глобальным максимумом). Любая стационарная точка выпуклой функции будет глобальным экстремумом.

Литература

• Выпуклость и вогнутость : [арх. 13 сентября 2022] / Теляковский С. А. // Восьмеричный путь — Германцы. — М. : Большая российская энциклопедия, 2006. — С. 126-127. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 6). — ISBN 5-85270-335-4.
• Выпуклость и вогнутость // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Қазақ энциклопедиясы, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)