Гексамино
"Гексамино" — шестиклеточное полимино, то есть плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики.
Если не считать различными фигуры, совпадающие при поворотах и зеркальных отражениях, то различных («свободных») форм гексамино насчитывается 35 (см. рисунок)[1][2]. Существует 60 видов «односторонних» гексамино (если зеркальные отражения считаются различными фигурами) и 216 видов «фиксированных» гексамино (различными считаются также и повороты)[3].
Классификация гексамино по симметрии править
35 свободных фигур гексамино по их свойствам симметрии можно разделить на 5 категорий:
- 20 фигур гексамино (на рисунке изображены серым цветом) асимметричны;
- 6 гексамино (изображены красным) имеют ось симметрии, параллельную линиям квадратной сетки;
- 2 гексамино (изображены зелёным) имеют диагональную ось симметрии;
- 5 гексамино (изображены синим) имеют центральную (вращательную) симметрию второго порядка;
- 2 гексамино (изображены фиолетовым) имеют две оси симметрии, параллельных линиям сетки.
Для односторонних гексамино (то есть если зеркальные отражения фигур считать различными), первая и четвёртая категории удваиваются в численности, что даёт дополнительно 25 гексамино, то есть в общей сложности 60. Для фиксированных гексамино (то есть если повороты также рассматривать как различные фигуры), то первая категория возрастёт в восемь раз по сравнению со свободнми гексамино, следующие три категории — в четыре раза, а из последней категории — в два. Это даст фиксированных гексамино.
Составление фигур из гексамино править
Хотя полный набор из 35 гексамино имеет общую площадь 210 квадратов, из них невозможно составить какой-либо прямоугольник с такой площадью (3×70, 5×42, 6×35, 7×30, 10×21, 14×15) — в отличие от 12 пентамино, из которых можно сложить любой из прямоугольников 3×20, 4×15, 5×12 и 6×10. Доказать это можно, раскрасив гексамино и прямоугольник в шахматном порядке. Тогда 11 фигур гексамино будут иметь чётное количество квадратов обоих цветов (2 белых и 4 чёрных или наоборот), а остальные 24 гексамино — нечётное (3 белых и 3 чёрных). Таким образом, в любой фигуре, составленной из полного набора гексамино, число квадратов каждого цвета будет чётным. Но любой прямоугольник из 210 квадратов будет иметь 105 чёрных квадратов и 105 белых, то есть нечётное число.
Тем не менее, есть другие симметричные фигуры из 210 квадратов, которые могут быть составлены из гексамино. Например, квадрат 15×15 с прямоугольным отверстием 3×5 в центре имеет 106 белых и 104 чёрных квадрата (или наоборот) и может быть составлен из полного набора в 35 гексамино[4].
Некоторые симметричные укладки гексамино править
-
«Параллелограмм» 15×14 с зубчатыми боковыми сторонами -
Прямоугольник 19×11 с одноклеточным выступом -
Прямоугольник 13×16 с двумя выступами -
«Треугольник» с зубчатой гипотенузой -
Прямоугольник 17×15 с крестообразным отверстием
Кроме того, из 60 односторонних гексамино, имеющих общую площадь в 360 единичных квадратов, можно составить прямоугольники 5×72, 6×60, 8×45, 9×40, 10×36, 12×30, 15×24 и 18×20[5].
Развёртки куба править
11 из 35 фигур гексамино являются развёртками куба (см. рисунок)[6]. Сложить из них прямоугольник площадью в 66 единичных квадратов невозможно[7].
Примечания править
- ↑ Голомб, 1975.
- ↑ Golomb, 1994.
- ↑ Weisstein, Eric W. Hexomino (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Hexominos. Дата обращения: 18 сентября 2011. Архивировано 27 сентября 2011 года.
- ↑ Gerard’s Polyomino Solution Page. Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2012 года.
- ↑ И. Константинов Пентамино и др. Архивная копия от 19 ноября 2015 на Wayback Machine Наука и жизнь, № 4, 2002
- ↑ Гарднер, Математические новеллы, 1974.
Литература править
- Голомб С.В.. Полимино = Polyominoes / Пер. с англ. В. Фирсова. Предисл. и ред. И. Яглома. — М.: Мир, 1975. — 207 с.
- Solomon W. Golomb. Polyominoes. — 2nd ed. — Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-02444-8.
- Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974.
- D. Hugh Redelmeier. Counting polyominoes: yet another attack // Discrete Mathematics : журнал. — 1981. — Vol. 36. — P. 191–203. — doi:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
- Daniel A. Rawsthorne. Tiling complexity of small n-ominoes (n<10) // Discrete Mathematics : журнал. — 1988. — Vol. 70. — P. 71–75. — doi:10.1016/0012-365X(88)90081-7.
- Glenn C. Rhoads. Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds // Journal of Computational and Applied Mathematics : журнал. — 2005. — Vol. 174. — P. 329–353. — doi:10.1016/j.cam.2004.05.002.