Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа $n>2$ никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы $(n-1)$ $n$ -х степеней других натуральных чисел. То есть уравнения:

{\begin{matrix}a^{3}+b^{3}=c^{3}\\a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}\\a^{5}+b^{5}+c^{5}+d^{5}=e^{5}\\\dots \\\sum \limits _{k=1}^{n-1}a_{k}^{n}=a_{n}^{n}\end{matrix}}

не имеют решения в натуральных числах. Опровергнута^[⇨].

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры править

k = 7: 127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷, (М. Додрилл, 1999)

n = 8

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸, (Скотт Чейз, 2000)

n = 5 править

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж^[en] с помощью суперкомпьютера CDC 6600 нашли первый контрпример для n = 5:^[1]^[2]

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

n = 4 править

В 1986 году Ноам Элкис нашёл контрпример для случая n = 4:^[3]^[4]

2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:^[5]^[4]

95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.

Обобщения править

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж^[en] высказали гипотезу, что если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ , где $a_{i}\neq b_{j}$ — положительные целые числа, $i={\overline {1,n}},j={\overline {1,m}}$ , то $m+n\geqslant k$ .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}$ , то $n\geqslant k-1$ .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству $\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}$ , где $a_{i}\neq b_{j}$ , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределённых вычислений EulerNet^[6] и yoyo@home.

См. также править

Примечания править

↑ L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079
↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp. (англ.) (рус. : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Архивировано 4 мая 2019 года.
↑ Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) (рус.. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781. Архивировано 31 июля 2021 года.
↑ ¹ ² R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.
↑ Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106—116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138
↑ EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.

Ссылки править

EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine
Гипотеза Эйлера Архивная копия от 21 июня 2013 на Wayback Machine

[1] L. J. Lander, T. R. Parkin: Counterexample to Eulers's conjecture on sums of like powers. Bull. Amer. Math. Soc. vol. 72, 1966, p. 1079

[2] L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge. A survey of equal sums of like powers (англ.) // Math. Comp. (англ.) (рус. : journal. — 1967. — Vol. 21. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. Архивировано 4 мая 2019 года.

[Elkies1988-3] Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (англ.) // Mathematics of Computation (англ.) (рус.. — 1988. — Vol. 51, no. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — JSTOR 2008781. Архивировано 31 июля 2021 года.

[EulerArxiv-4] ¹ ² R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project Архивная копия от 3 сентября 2015 на Wayback Machine, 2011, препринт.

[5] Frye, Roger E. (1988), "Finding 95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ on the Connection Machine", Proceedings of Supercomputing 88, Vol.II: Science and Applications, pp. 106—116, doi:10.1109/SUPERC.1988.74138

[6] EulerNet Архивная копия от 9 декабря 2013 на Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]