Гребенчатый фильтр

Гребе́нчатый фильтр — в обработке сигналов электронный фильтр, при прохождении сигнала через который к нему добавляется он сам с некоторой задержкой. В результате получается фазовая компенсация. АЧХ гребенчатого фильтра состоит из ряда равноотстоящих по частоте пиков, так что она выглядит как гребёнка.

Блок-схема гребенчатого фильтра с обратной связью (бесконечной импульсной характеристикой)

Блок-схема гребенчатого фильтра без обратной связи (конечной импульсной характеристикой)

Реализация

В цифровых системах, фильтр задаётся следующим уравнением:

$y\left[n\right]=ax\left[n\right]+bx\left[n-\tau \right]+cy\left[n-\tau \right],$

где $\tau$ — запаздывание.

Гребенчатый фильтр также может быть реализован в аналоговой форме — АЧХ такого фильтра задаётся следующим выражением:

$H\left(\omega \right)={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}.$

Пики амплитудно-частотной характеристики получаются из-за того, что амплитудная характеристика включает периодические разрывы. Это происходит, когда выполняется следующее условие:

$\cos \left(\omega \tau \right)={\frac {1+c^{2}}{2c}}.$

Применения

Существуют двумерные и трёхмерные гребенчатые фильтры (реализованные как программно, так и аппаратно), применяющиеся для обработки сигналов в телевизионных системах стандартов PAL и NTSC. Они используются для уменьшения артефактов — например, таких, как сползание точек.

В системах связи гребенчатые фильтры применяются для обработки сигнала связи.

Гребенчатые фильтры применяются для обработки аудиосигналов, в частности для создания эффекта эха. К примеру, если задержка установлена на уровне нескольких миллисекунд, это имитирует эффект звука в цилиндрической полости.

Передаточная функция

Гребенчатый фильтр представляет собой линейную стационарную систему. Пусть входной сигнал $x\left(n\right)$ имеет экспоненциальную форму:

$x\left(n\right)=e^{i\omega n}$

Выходной сигнал $y\left(n\right)$ определяется как:

$y\left(n\right)=H\left(\omega \right)e^{i\omega n}$

Объединив эти выражения с уравнением гребенчатого фильтра, получим:

$H\left(\omega \right)e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{i\omega \left(n-\tau \right)}+cH\left(\omega \right)e^{i\omega \left(n-\tau \right)}$

$H\left(\omega \right)e^{i\omega n}=ae^{i\omega n}+be^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}+cH\left(\omega \right)e^{-i\omega \tau }e^{i\omega n}.$

Принимая во внимание то, что экспонента нигде не обращается в нуль, обе части уравнения можно разделить на неё:

$H\left(\omega \right)=a+be^{-i\omega \tau }+cH\left(\omega \right)e^{-i\omega \tau }.$

Решив относительно $H\left(\omega \right)$, получим:

$H\left(\omega \right)={\frac {a+be^{-i\omega \tau }}{1-ce^{-i\omega \tau }}}.$

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Электронный фильтр
• Линейный фильтр