Эффект Шубникова — де Хааза

Эффект Шубникова — де Хааза (эффект Шубникова — де Гааза) назван в честь советского физика Л. В. Шубникова и нидерландского физика В. де Хааза, открывших его в 1930 году. Наблюдаемый эффект заключался в осцилляциях магнетосопротивления плёнок висмута при низких температурах. Позже эффект Шубникова — де Гааза наблюдали в многих других металлах и полупроводниках. Эффект Шубникова — де Гааза используется для определения тензора эффективной массы и формы поверхности Ферми в металлах и полупроводниках.

Термины продольный и поперечный эффекты Шубникова — де Гааза вводят, чтобы различать ориентацию магнитного поля относительно направления течения электрического тока. Особый интерес заслуживает поперечный эффект Шубникова — де Гааза в двумерном электронном газе (ДЭГ).

Причина возникновения

Причина возникновения осцилляций проводимости и сопротивления кроется в особенностях энергетического спектра ДЭГ, а именно здесь речь идёт об уровнях Ландау с энергиями

$E_{n}^{LL}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right),$

где $\hbar$ — постоянная Планка, $\omega _{c}={\frac {eB}{m^{*}c}}$ — циклотронная частота осциллятора Ландау, $m^{*}$ — эффективная масса электрона, $n=0,1,2...$ — номер уровня Ландау, $c$ — скорость света,.

Плотность состояний ДЭГ $DOS(\varepsilon )$ в квантующем магнитном поле для двумерного случая представляет собой набор дельтообразных особенностей

$DOS(\varepsilon )=\sum _{n=1}^{\infty }{\delta \left(\varepsilon -\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}.$

Пусть уровень Ферми $E_{F}$ зафиксирован, например, уровнем Ферми в контактах. Тогда при возрастании магнитного поля B расстояние между уровнями Ландау начнёт увеличиваться, и они будут пересекать при условии $E_{F}=E_{n}^{LL}$ уровень Ферми, и проводимость ДЭГ возрастет. Когда уровень Ферми находится между двумя уровнями Ландау, где нет электронов, дающих вклад в проводимость, наблюдается её минимум. Этот процесс повторяется при увеличении магнитного поля. Осцилляции магнетосопротивления периодичны по обратному магнитному полю и из их периода $\Delta \left({\frac {1}{B}}\right)$ определяют концентрацию двумерного электронного газа (ДЭГ)

$n_{2DEG}={\frac {2e}{h}}{\frac {1}{\Delta (1/B)}},$

где $e$ — заряд электрона, $h$ — постоянная Планка.

Осцилляции магнетосопротивления возникают и в другой постановке эксперимента, если зафиксировать магнитное поле и каким-либо образом менять концентрацию ДЭГ, например, в полевом транзисторе изменяя потенциал затвора.

Двумерный случай

Рассмотрим вырожденный двумерный газ (находящийся на плоскости $xy$) невзаимодействующих (свободных) электронов с эффективной массой $m^{*}$. Сильное магнитное поле ${\boldsymbol {B}}$ направлено перпендикулярно плоскости и выполнено неравенство $\omega _{c}\tau \gg 1$ ($\omega _{c}=eB/m^{*}c$ — циклотронная частота), то есть энергетический спектр квантован. Температуру $T$ полагаем достаточно низкой, а уширение уровней Ландау за счет рассеяния электронов меньшим, чем расстояние между уровнями $\hbar \omega _{c}\gg T,\hbar /\tau$, $\tau$ — время свободного пробега. В этом случае зависимость компонент тензора электропроводности от магнитного поля имеет вид:

$\sigma _{xx}=\sigma _{yy}={\frac {\sigma _{0}}{1+\left(\omega _{c}\tau \right)^{2}}}\left[1+{\frac {2{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right]$,

$\sigma _{xy}=-\sigma _{yx}=-{\frac {\sigma _{0}\omega _{c}\tau }{1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}}\left\{1-{\frac {3{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}+1}{{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\left[1+{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}\right]}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right\}$,

где $\sigma _{0}$ — электропроводность в отсутствии магнитного поля, определяемая формулой Друде.

Осцилляции электропроводности при изменении поля описывается отношением осциллирующей части плотности состояний $\Delta \nu$ к плотности состояний в отсутствие магнитного поля, $\nu _{0}\gg \Delta \nu$:

${\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}=2\sum \limits _{s=1}^{\infty }{\exp \left(-{\frac {\pi s}{\omega _{c}\tau }}\right)}{\frac {2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)}{\sinh \left(2{{\pi }^{2}}T/\left(\hbar \omega _{c}\right)\right)}}\cos \left({\frac {2\pi s{{\varepsilon }_{F}}}{\hbar \omega _{c}}}-\pi s\right)$,

где $\varepsilon _{F}$ — энергия Ферми.

Компоненты тензора сопротивления ${{\rho }_{ik}}$ , обратного тензору проводимости, $\sigma _{ik}^{-1}={{\rho }_{ik}}$, имеют простой вид:

${{\rho }_{xx}}={\frac {1}{\sigma _{0}}}\left(1+2{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)$,

${{\rho }_{xy}}={\frac {\omega _{c}\tau }{\sigma _{0}}}\left(1-{\frac {1}{{\left(\omega _{c}\tau \right)}^{2}}}{\frac {\Delta \nu }{\nu _{0}}}\right)$.

Приведенные формулы справедливы в случае, когда можно пренебречь зеемановским расщеплением квантовых уровней ($g_{zz}\mu _{B}B\ll \hbar \omega _{c}$, $\mu _{B}$ — магнетон Бора, $g_{zz}$ — компонента тензора g—фактора электронов).

Трёхмерный случай

Форма осцилляций слабо зависит от вида рассеивающего потенциала и следующее выражение, учитывающее уширение за счёт столкновений и температуры, а также спиновое расщепление, даёт хорошее приближение для описания поперечного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа

$\sigma _{xx}=\sigma _{0}\left(1+\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$

$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {5}{2}}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$

где $\eta =E_{F}/\hbar \omega _{c}$, $T_{D}$ — температура Дингля, определённая по столкновительному уширению $\Gamma$ уровня как $\pi k_{B}T_{D}=\Gamma$, $k_{B}$ — постоянная Больцмана, $T_{e}$ — температура электронного газа, $g$ — множитель Ландэ для электрона ($g$-фактор), $m_{0}$ — масса свободного электрона.

Аналогичное выражение для описания продольного эффекта Шубникова — де Гааза для трёхмерного электронного газа (с учётом рассеяния на акустических фононах) запишется в виде

$\sigma _{xx}=\sigma _{0L}\left(1-\sum _{r=1}^{\infty }b_{r}\cos {\left(2\pi \eta r-{\frac {\pi }{4}}\right)}\right)$

$b_{r}=(-1)^{r}{\frac {1}{(2\eta r)^{1/2}}}\cdot {\frac {\frac {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e}}{\hbar \omega _{c}}}{\mathrm {sh} {2\pi ^{2}rk_{B}T_{e} \over \hbar \omega _{c}}}}\cdot e^{-2\pi ^{2}rk_{B}T_{D} \over \hbar \omega _{c}}\cos {\pi grm^{*} \over 2m_{0}}$

где $\sigma _{0L}={\frac {2e^{2}\hbar \rho v_{s}^{2}}{\pi \Xi ^{2}k_{B}Tm^{*}}}{\frac {E_{F}}{3}}$ ($\Xi$ — деформационный потенциал, $v_{s}$ — скорость звука, $T$ — температура).

Произвольный закон дисперсии

При произвольном законе дисперсии электронов проводимости $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)$ ($\mathbf {p}$ — квазиимпульс) амплитуда и период осцилляций электропроводности зависят от геометрии Ферми поверхности $\varepsilon \left(\mathbf {p} \right)={{\varepsilon }_{F}}$ (${\varepsilon }_{F}$ — энергия Ферми).

В отличие от эффекта де Гааза — ван Альфена, в эффекте Шубникова — де Гааза в осцилляционной зависимости компонент тензора электропроводности ${{\sigma }_{ik}}$ ($i,k=x,y,z$) от магнитного поля помимо осцилляций плотности состояний (аналогично эффекту де Гааза — ван Альфена) появляются осцилляции, которые связаны с влиянием квантования Ландау на процессы рассеяния. Учёт в интеграле столкновений кинетического уравнения квантования энергетического спектра и влияния электрического поля $\mathbf {E}$ на энергию электрона, показало, что вклад процессов рассеяния в амплитуду осцилляций Шубникова — де Гааза поперечных компонент $\sigma _{xx}$, $\sigma _{yy}$ (магнитное поле $\mathbf {H}$ направлено вдоль оси $z$) в скрещенных полях ($\mathbf {E} \bot \mathbf {H}$) является определяющим. Относительная осциллирующая добавка к диагональным компонентам тензора проводимости $\Delta {{\sigma }_{ii}}/{\sigma }_{ii}$ в квазиклассическом приближении имеет порядок:

${\frac {\Delta {{\sigma }_{zz}}}{{\sigma }_{zz}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{xx}}}{{\sigma }_{xx}}}\sim {\frac {\Delta {{\sigma }_{yy}}}{{\sigma }_{yy}}}\sim {{\nu }^{-1}}\left({{\varepsilon }_{F}}\right)\sum \limits _{m}{{{\left({\frac {m_{c}{{S}_{m}}}{H}}\right)}^{2}}{\frac {\partial M_{osc}}{\partial H}}}$,

где $\nu \left({{\varepsilon }_{F}}\right)$ — плотность состояний при энергии, равной энергии Ферми; ${{m}_{c}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial {{S}_{m}}}{\partial {{\varepsilon }_{F}}}}$ — циклотронная масса электрона; ${S}_{m}(\varepsilon _{F})$ — площади экстремальных сечений ($\partial {{S}_{m}}/\partial {{p}_{H}}=0$) поверхности Ферми плоскостями ${p_{H}}=const$, где $p_{H}$ — проекция квазиимпульса электрона на направление магнитного поля; $M_{osc}$ — осциллирующая часть магнитного момента электронов. Суммирование по индексу $m$ проводится по всем экстремальным сечениям. Согласно теории Лифшица — Косевича

${{M}_{osc}}\simeq -A_{LK}\sin \left({\frac {c}{e\hbar H}}{{S}_{m}}\mp {\frac {\pi }{4}}-2\pi \gamma \right)\cos \left(\pi {\frac {m_{c}}{{m}_{0}}}\right);$

где

$A_{LK}={\frac {V}{\pi ^{2}{\sqrt {2\pi }}\hbar ^{3}}}\left({\frac {e\hbar }{c}}\right)^{3/2}{\frac {S_{m}{\sqrt {H}}}{{{\left|{}^{{{\partial }^{2}}{{S}_{m}}}\!\!\diagup \!\!{}_{\partial p_{H}^{2}}\;\right|}^{1/2}}\partial {{S}_{m}}/\partial {{\varepsilon }_{F}}}}\Psi \left({\frac {2\pi ^{2}T}{\hbar \omega _{c}}}\right)$.

Формула справедлива при выполнении неравенств:

$T\ll {\frac {\hbar eH}{{{m}_{c}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};\quad {\frac {e\hbar H}{2{{m}_{0}}c}}\ll {{\varepsilon }_{F}};$

где $V$ — объём металла, $\Psi \left(z\right)=z/\sinh z$, $T$ — температура, $m_{0}$ — масса свободного электрона, ${{\omega }_{c}}={\frac {eH}{{{m}_{c}}c}}$ — циклотронная частота, $\gamma <1$, постоянная Больцмана $k_{B}=1$.

Период осцилляций по обратному магнитному полю равен:

$\Delta \left({\frac {1}{H}}\right)={\frac {2\pi e\hbar }{c{{S}_{m}}}}$.

См. также

• Осцилляции Шубникова — де Гааза (графен)
• Эффект де Гааза — ван Альфена

Литература

• Ridley B. K. Квантовые процессы в полупроводниках = Quantum Processes in semiconductors. — 4-е. — Oxford: Clarendon Press, 1999. — 436 с. — ISBN 0-19-850580-9.