Диагональный функтор

Диагональный функтор — функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества.

Диагональный функтор $\Delta \colon {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ (${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}$ — категория функторов из малой категории ${\mathcal {J}}$ в произвольную категорию ${\mathcal {C}}$) сопоставляет каждому объекту категории ${\mathcal {C}}$ постоянный функтор, отправляющий все объекты ${\mathcal {J}}$ в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в ${\mathcal {C}}$ он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда ${\mathcal {J}}$ — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор ${\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}$.

Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа ${\mathcal {J}}$ (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор ${\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\rightarrow {\mathcal {C}}$, оказывается что функтор предела является правым сопряжённым к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряжённый к диагональному.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.