Дистрибутивность

Дистрибути́вность (от лат. distributivus «распределительный»), также распределительный закон — свойство согласованности двух бинарных операций, определённых на одном и том же множестве.

Говорят, что бинарная операция «×» является дистрибутивной относительно бинарной операции «+», если они удовлетворяют следующим двум тождествам:

$(\forall x,y,z)\,x\times (y+z)=(x\times y)+(x\times z)$ — дистрибутивность слева;

$(\forall x,y,z)\,(y+z)\times x=(y\times x)+(z\times x)$ — дистрибутивность справа.

Если операция «×» является коммутативной, то свойства дистрибутивности слева и справа равносильны.

Относительно соответствующих аддитивных операций, мультипликативные операции в кольцах и полях, по определению, удовлетворяют свойству дистрибутивности.

Если операции сложения и пересечения для односторонних идеалов некоторого кольца (или подмодулей некоторого модуля) удовлетворяют свойству дистрибутивности^{[уточнить]}, то говорят о дистрибутивном кольце (или дистрибутивном модуле).

Следствия

Из дистрибутивного закона следует правило раскрытия скобок, перед которыми стоит минус. В этом случае знаки слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$-(x+y)=-1(x+y)=-1x+(-1)y=-x+(-y)=-x-y$

Аналогично,

$-(x-y)=-x+y;$

$-(x+y+z)=-x-y-z;$

$-(x+y-z)=-x-y+z;$

$-(x-y+z)=-x+y-z;$

$-(x-y-z)=-x+y+z$

Например,

$-(2-6+17)=-2+6-17=-13$

См. также

• Ассоциативность
• Коммутативность