Интеграл Лебега

Интеграл Лебе́га — это обобщение интеграла Римана на более широкий класс функций.

Сверху интегрирование по Риману, снизу — по Лебегу

Все функции, определённые на конечном отрезке числовой прямой и интегрируемые по Риману, являются также интегрируемыми по Лебегу, причём в этом случае оба интеграла равны. Однако существует большой класс функций, определённых на отрезке и интегрируемых по Лебегу, но неинтегрируемых по Риману. Также интеграл Лебега может иметь смысл для функций, заданных на произвольных множествах (интеграл Фреше).

Идея построения интеграла Лебега состоит в том, что вместо разбиения области определения подынтегральной функции на части и составления потом интегральной суммы из значений функции на этих частях, на интервалы разбивают её область значений, а затем суммируют с соответствующими весами меры прообразов этих интервалов.

Определение

Интеграл Лебега определяют пошагово, переходя от более простых функций к сложным. Будем считать, что дано пространство с мерой $(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и на нём определена измеримая функция $f\colon (X,{\mathcal {F}})\to (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$, где ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ — борелевская $\sigma$-алгебра на вещественной оси.

Определение 1. Пусть $f$ — индикатор некоторого измеримого множества, то есть $f(x)=\mathbf {1} _{A}(x)$, где $A\in {\mathcal {F}}$. Тогда интеграл Лебега функции $f$ по определению:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\equiv \int \limits _{A}d\mu =\mu (A).$

Определение 2. Пусть $f$ — простая функция, то есть $f(x)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mathbf {1} _{F_{i}}(x)$, где $\{f_{i}\}_{i=1}^{n}\subset \mathbb {R}$, а $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}\subset {\mathcal {F}}$ — конечное разбиение $X$ на измеримые множества. Тогда

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sum \limits _{i=1}^{n}f_{i}\,\mu (F_{i})$.

Определение 3. Пусть теперь $f$ — неотрицательная функция, то есть $f(x)\geqslant 0\;\forall x\in X$. Рассмотрим все простые функции $\{f_{s}\}$, такие что $f_{s}(x)\leqslant f(x)\;\forall x\in X$. Обозначим это семейство ${\mathcal {P}}_{f}$. Для каждой функции из этого семейства уже определён интеграл Лебега. Тогда интеграл от $f$ задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\sup \left\{\int \limits _{X}f_{s}(x)\,\mu (dx)\;\vert \;f_{s}\in {\mathcal {P}}_{f}\right\}$

Наконец, если функция $f$ произвольного знака, то её можно представить в виде разности двух неотрицательных функций. Действительно, легко видеть, что:

$f(x)=f^{+}(x)-f^{-}(x),$

где

$f^{+}(x)=\max(f(x),0),\;f^{-}(x)=-\min(0,f(x))$.

Определение 4. Пусть $f$ — произвольная измеримая функция. Тогда её интеграл задаётся формулой:

$\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f^{+}(x)\,\mu (dx)-\int \limits _{X}f^{-}(x)\,\mu (dx)$.

Определение 5. Пусть наконец $A\in {\mathcal {F}}$ произвольное измеримое множество. Тогда по определению

$\int \limits _{A}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}f(x)\,\mathbf {1} _{A}(x)\,\mu (dx)$,

где $\mathbf {1} _{A}(x)$ — индикатор-функция множества $A$.

Пример

Рассмотрим функцию Дирихле $f(x)\equiv \chi _{\mathbb {Q} _{[0,1]}}(x)$, заданную на $([0,1],{\mathcal {B}}([0,1]),m)$, где ${\mathcal {B}}([0,1])$ — борелевская σ-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — мера Лебега. Эта функция принимает значение $1$ в рациональных точках и $0$ в иррациональных. Легко увидеть, что $f$ не интегрируема в смысле Римана. Однако, она является простой функцией на пространстве с конечной мерой, ибо принимает только два значения, а потому её интеграл Лебега определён и равняется:

$\int \limits _{[0,1]}f(x)\,m(dx)=1\cdot m(\mathbb {Q} _{[0,1]})+0\cdot m([0,1]\setminus \mathbb {Q} _{[0,1]})=1\cdot 0+0\cdot 1=0.$

Действительно, мера отрезка $[0,1]$ равна 1, и так как множество рациональных чисел счётно, то его мера равна 0, а значит мера иррациональных чисел равна $1-0=1$.

Замечания

• Так как $|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, измеримая функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;
• В зависимости от выбора пространства, меры и функции, интеграл может быть конечным или бесконечным. Если интеграл функции конечен, то функция называется интегрируемой по Лебегу или суммируемой;
• Если функция определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ и измерима, то она называется случайной величиной, а её интеграл называют математическим ожиданием или средним. Случайная величина интегрируема, если она имеет конечное математическое ожидание.

Свойства

• Интеграл Лебега линеен, то есть

  $\int \limits _{X}[af(x)+bg(x)]\,\mu (dx)=a\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)+b\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$,

где $a,b\in \mathbb {R}$ — произвольные константы;

• Интеграл Лебега сохраняет неравенства, то есть если $0\leqslant f(x)\leqslant g(x)$ почти всюду, $f(x)$ измерима и $g(x)$ интегрируема, то интегрируема и $f(x)$, и более того

  $0\leqslant \int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)\leqslant \int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$;

• Интеграл Лебега не зависит от поведения функции на множестве меры нуль, то есть если $f(x)=g(x)$ почти всюду, то

  $\int \limits _{X}f(x)\,\mu (dx)=\int \limits _{X}g(x)\,\mu (dx)$.

Интегральные суммы Лебега

Интегральными суммами Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ называются суммы вида

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\cdot \mu \{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$,

где $y_{1}<y_{2}<\dots <y_{N}$ — разбиение области значений функции $f(x)$.

Каждая такая сумма является интегралом Лебега от простой функции, аппроксимирующей функцию $f(x)$ - в каждой точке она принимает одно из значений $y_{1},y_{2},\dots ,y_{N}$ (а именно, $y_{k}$ на подмножестве $\{x\in X:y_{k}<f(x)\leqslant y_{k+1}\}$). Поэтому, если функция $f(x)$ интегрируема по Лебегу, эти суммы сходятся к её интегралу, когда $y_{1}\rightarrow -\infty$, $y_{N}\rightarrow +\infty$, и диаметр разбиения $\delta =\max\{y_{2}-y_{1},\dots ,y_{N}-y_{N-1}\}$ стремится к нулю.

Особенность интегральных сумм Лебега состоит в том, что для их вычисления не требуется вычислять значения интегрируемой функции — нужна на самом деле лишь функция распределения её значений:

$F(y)=\mu \{x\in X:f(x)\leqslant y\}$

Тогда интегральные суммы Лебега для функции $f(x)$ и меры $\mu$ становятся интегральными суммами Римана-Стилтьеса для функции $y$ и функции распределения $F(y)$:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}(F(y_{k+1})-F(y_{k}))\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }ydF(y)$.

Если функция распределения $F(y)$ имеет плотность: $dF(y)=\rho (y)dy$, то интегральные суммы Лебега преобразуются в интегральные суммы Римана:

$S=\sum _{k=1}^{N}y_{k}\rho (y_{k})(y_{k+1}-y_{k})\rightarrow \int \limits _{-\infty }^{+\infty }y\rho (y)dy$.

Поскольку функции распределения естественным образом возникают в теории вероятностей, статистической и квантовой физике, то и интегральные суммы Лебега фактически используются для вычисления интеграла Лебега, в основном, в приложениях этих теорий. Чаще же всего интеграл Лебега вычисляется как равный ему интеграл Римана (в тех случаях, когда последний имеет смысл).

Сходимость интегралов Лебега от последовательностей функций

• Теорема Леви о монотонной сходимости
• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — 2-е. — М.: Физматлит, 1961. — 436 с.

• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е. — М.: ГУПИМПР, 1961. — 173 с.