Интервалы между простыми числами

Интервалы между простыми числами — это разности между двумя последовательными простыми числами. n-й интервал, обозначаемый , — это разность между (n + 1)-м и n-м простыми числами, то есть

Мы имеем: . Последовательность интервалов между простыми хорошо изучена. Иногда рассматривают функцию вместо

Первые 30 интервалов между простыми числами следующие:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 последовательность A001223 в OEIS.

Простые замечания править

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность

 

является последовательностью из   последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем  . Следовательно, существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, и для любого простого P существует n такое, что   (Очевидно, что для этого мы можем выбрать n таким, что   будет наибольшим простым числом, не превосходящим  .). Другой способ увидеть, что существуют сколь угодно большие интервалы между простыми числами, использует тот факт, что множество простых чисел имеет нулевую плотность, согласно теореме о распределении простых чисел.

На самом деле, интервал между простыми величины P может встретиться между простыми, гораздо меньшими, чем P#. Например, самая первая последовательность из 71 последовательных составных чисел находится между 31398 и 31468, в то время как 71# является 27-значным числом.

Уже среднее значение интервалов между простыми растёт как натуральный логарифм n.

С другой стороны, гипотеза о простых близнецах утверждает, что   для бесконечно многих n.

Интервалы между простыми могут быть оценены сверху и снизу с помощью функции Якобсталя (последовательность A048670 в OEIS).

Численные результаты править

На 16 апреля 2022 года наибольший известный интервал между 208095-значными числами, определёнными как вероятно простые, имеет длину 7186572 и M = 14.9985. Он был найден Michiel Jansen с помощью программы, созданной J. K. Andersen.[1][2]

На 8 марта 2013 года наибольший известный интервал между 18662-значными доказанными простыми числами имеет длину 1113106 и M = 25.90. Он был найден P. Cami, M. Jansen и J. K. Andersen.[3][4]

Отношение M=gn/ln(pn) показывает, во сколько раз данный интервал gn отличается от среднего интервала между простыми вблизи простого числа pn. На 2017 год наибольшее известное значение M=41,93878373 обнаружено для интервала длиной 8350, следующего за 87-значным простым числом 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Этот рекорд найден в процессе распределенных вычислений Gapcoin[5].

Отношение S=gn/ln2pn (oтношение Крамера — Шенкса — Грэнвилля) изучают в связи с гипотезой Крамера, утверждающей, что  . Если не рассматривать аномально высокие значения S, наблюдающиеся для   то наибольшее известное значение S=0,9206386 обнаружено для интервала длиной 1132, следующего за 16-значным простым числом 1693182318746371. Этот рекорд нашел в 1999 году Bertil Nyman[6] (последовательность A111943 в OEIS содержит это и все предшествующие простые числа  , соответствующие рекордным значениям S).

Будем говорить, что   является максимальным интервалом, если для всех   будет  . Между первыми   простыми числами наблюдается приблизительно   максимальных интервалов[7]; см. также последовательность A005250 в OEIS.

Первые 81 максимальных интервалов
(n не приводится; см. последовательность A005669 в OEIS)
От 1 до 30
# gn pn
1 1 2
2 2 3
3 4 7
4 6 23
5 8 89
6 14 113
7 18 523
8 20 887
9 22 1129
10 34 1327
11 36 9551
12 44 15683
13 52 19609
14 72 31397
15 86 155921
16 96 360653
17 112 370261
18 114 492113
19 118 1349533
20 132 1357201
21 148 2010733
22 154 4652353
23 180 17051707
24 210 20831323
25 220 47326693
26 222 122164747
27 234 189695659
28 248 191912783
29 250 387096133
30 282 436273009
От 31 до 60
# gn pn
31 288 1294268491
32 292 1453168141
33 320 2300942549
34 336 3842610773
35 354 4302407359
36 382 10726904659
37 384 20678048297
38 394 22367084959
39 456 25056082087
40 464 42652618343
41 468 127976334671
42 474 182226896239
43 486 241160624143
44 490 297501075799
45 500 303371455241
46 514 304599508537
47 516 416608695821
48 532 461690510011
49 534 614487453523
50 540 738832927927
51 582 1346294310749
52 588 1408695493609
53 602 1968188556461
54 652 2614941710599
55 674 7177162611713
56 716 13829048559701
57 766 19581334192423
58 778 42842283925351
59 804 90874329411493
60 806 171231342420521
От 61 до 80
# gn pn
61 906 218209405436543
62 916 1189459969825483
63 924 1686994940955803
64 1132 1693182318746371
65 1184 43841547845541059
66 1198 55350776431903243
67 1220 80873624627234849
68 1224 203986478517455989
69 1248 218034721194214273
70 1272 305405826521087869
71 1328 352521223451364323
72 1356 401429925999153707
73 1370 418032645936712127
74 1442 804212830686677669
75 1476 1425172824437699411
76 1488 5733241593241196731
77 1510 6787988999657777797
78 1526 15570628755536096243
79 1530 17678654157568189057
80 1550 18361375334787046697
81 1552 18470057946260698231
82
83
84
85
86
87
88
89
90

19 июня 2021 года Craig Loizides сообщил о нахождении 81-го кандидата (gn=1552 pn=18470057946260698231) и 15 июля 2021 года — о нахождении 82-го кандидата (gn=1572 pn=18571673432051830099), отметив, что эти результаты были получены с помощью его собственного кода для графического процессора, и не являются 100% достоверными.[8]

25 августа 2023 года стартовал проект по проверке этих двух результатов с помощью программы Gapfinder для ОС Windows, работающей на центральном процессоре. Завершение проекта ожидается в 2024-м году.[9]

83-й (gn=1614 pn=70835512978308848889799) и 84-й кандидаты (gn=1638 pn=70835517346711648260809) также были найдены Craig Loizides в 2021 году. Они состоят уже из 23 десятичных цифр, и их проверка потребует неопределенно долгого времени.[10]

Сложность поиска и подтверждения рекордов выше 80-го заключается в переходе через пороговое значение 264 (разрядная сетка ЭВМ), что требует создания/использования специализированного программного обеспечения, при этом выполнение математических операций над числами длиннее 64 бит существенно замедляется.

Наибольшие интервалы первых десяти тысяч править

Уже во второй тысяче имеется интервал, длиной 34 числа, в котором нет простых чисел — (1327—1361). Причём, этот интервал удерживает свой рекорд длины до десятой тысячи. Лишь в девятой тысяче имеется второй интервал такой же длины — (8467—8501), а в десятой — более длинный интервал (36 чисел) — (9551—9587), который и является самым длинным интервалом первых десяти тысяч. Имеется также интервал длиной 32 числа — (5591—5623).

Дальнейшие результаты править

Верхние оценки править

Постулат Бертрана утверждает, что для любого k всегда существует хотя бы одно простое число между k и 2k, поэтому, в частности,  , откуда  .

Теорема о распределении простых чисел говорит, что «средняя длина» интервалов между простым p и следующим простым числом имеет порядок  . Фактическая длина интервалов может быть больше или меньше этого значения. Однако, из теоремы о распределении простых чисел можно вывести, верхнюю оценку для длины интервалов простых чисел: для любого   существует такое N, что для всех   будет  .

Хохайзель первым показал[11] что существует такое постоянное  

  при  

отсюда следует, что

 

для достаточно большого n.

Отсюда следует, что интервалы между простыми становятся сколь угодно меньше по отношению к простым: частное   стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.

Hoheisel получил возможное значение 32999/33000 для  . Эта оценка была улучшена до 249/250 Хайльброном[12], и до   для любого   Чудаковым[13].

Основное улучшение было получено Ингемом[14], который показал, что если

 

для некоторой константы  , где O используется в смысле нотации O большое, то

 

для любого  . Здесь, как обычно,   обозначает дзета функцию Римана, а   — функция распределения простых чисел не превосходящих x. Известно, что допускается  , откуда в качестве   можно взять любое число, большее  . Из результата Ингама сразу следует, что всегда существует простое число между числами   и   для достаточно больших n. Заметим, что ещё не доказана гипотеза Линделёфа, которая утверждает, что в качестве c может быть выбрано любое положительное число, но из неё следует, что всегда существует простое число между   и   для достаточно больших n (см. также Гипотеза Лежандра). Если эта гипотеза верна, то возможно, что необходима ещё более строгая гипотеза Крамера. Одним из достигнутых приближений к гипотезе Лежандра является доказанный факт о том, что  .[15]

Мартин Хаксли показал, что можно выбрать  [16].

Последний результат принадлежит Бакеру, Харману и Пинцу, показавшим, что   может быть взято равным 0,525.[15]

В 2005, Дэниел Голдстон, Янос Пинц и Джем Йылдырым доказали, что

 

и позже улучшили это[17] до

 

В 2013 Чжан Итан представил статью, где доказывается, что[18]

 

Этот результат многократно улучшался вплоть до

 

В частности, отсюда следует, что множество всех пар простых чисел, разницы между которыми не превосходит 246, бесконечно[19][20].

Нижние оценки править

Роберт Ранкин доказал, что существует константа   такая, что неравенство

 

сохраняется для бесконечно многих значений n. Наилучшее известное значение для c на текущий момент — это  , где   — постоянная Эйлера-Маскерони.[21] Пауль Эрдёш предложил приз в $5000 за доказательство или опровержение того, что константа c в неравенстве выше может быть сколь угодно большой.[22]

Гипотезы об интервалах между простыми числами править

 
Primegap function

Здесь возможны ещё лучшие результаты, чем те, которые могут быть получены при предположении истинности гипотезы Римана. Харальд Крамер доказал, что если гипотеза Римана верна, то интервалы   удовлетворяют соотношению

 

(здесь используется нотация O большое). Позже он предположил, что интервалы растут гораздо меньше. Грубо говоря, он предположил, что

 

В данный момент на это указывают численные расчёты. Для более детальной информации см. Гипотеза Крамера.

Гипотеза Андрицы утверждает, что

 

Это слабое усиление гипотезы Лежандра, которая утверждает, что между любой парой квадратов натуральных чисел существует хотя бы одно простое число.

Интервалы между простыми как арифметическая функция править

Интервал   между n-м и (n + 1)-м простым числом является примером арифметической функции. В таком контексте обычно её обозначают   и называют разностью между простыми[22]. Разность между простыми не является ни мультипликативной, ни аддитивной арифметической функцией[fr].

См. также править

Примечания править

  1. MJansen Announcement at Mersenneforum.org. Mersenneforum.org (16 апреля 2022). Архивировано 29 сентября 2022 года.
  2. mart_r Verification Announcement at Mersenneforum.org. Mersenneforum.org (14 июля 2022). Архивировано 27 июля 2022 года.
  3. Andersen, Jens Kruse The Top-20 Prime Gaps. Дата обращения: 13 июня 2014. Архивировано 27 декабря 2019 года.
  4. Andersen, Jens Kruse A megagap with merit 25.9. primerecords.dk (8 марта 2013). Дата обращения: 29 сентября 2022. Архивировано 25 декабря 2019 года.
  5. Nicely, T.R., New prime gap of maximum known merit. Дата обращения: 6 июня 2020. Архивировано 30 апреля 2021 года.
  6. Nicely, T.R., First occurrence prime gaps. Дата обращения: 6 июня 2020. Архивировано 11 декабря 2019 года.
  7. Kourbatov, А. On the nth record gap between primes in an arithmetic progression (англ.) // Int. Math. Forum : journal. — 2018. — Vol. 13, no. 2. — P. 65—78. — doi:10.12988/imf.2018.712103. — arXiv:1709.05508.
  8. CraigLo, New Maximal Gaps. Дата обращения: 5 декабря 2023.
  9. Code to find prime gaps above 264. Дата обращения: 5 декабря 2023.
  10. Record prime gaps (no known gap larger with smaller start). Дата обращения: 5 декабря 2023.
  11. Hoheisel, G. Primzahlprobleme in der Analysis (неопр.) // Sitzunsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1930. — Т. 33. — С. 3—11.
  12. Heilbronn, H. A. Uber den Primzahlsatz von Herrn Hoheisel (англ.) // Mathematische Zeitschrift  (англ.) : journal. — 1933. — Vol. 36, no. 1. — P. 394—423. — doi:10.1007/BF01188631.
  13. Tchudakoff, N. G. On the difference between two neighboring prime numbers (англ.) // Math. Sb. : journal. — 1936. — Vol. 1. — P. 799—814.
  14. Ingham, A. E. On the difference between consecutive primes (англ.) // Quarterly Journal of Mathematics  (англ.) : journal. — 1937. — Vol. 8, no. 1. — P. 255—266. — doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
  15. 1 2 Baker, R. C.; Harman, G.; Pintz, G.; Pintz, J. The difference between consecutive primes, II (неопр.) // Proceedings of the London Mathematical Society. — 2001. — Т. 83, № 3. — С. 532—562. — doi:10.1112/plms/83.3.532.
  16. Huxley, M. N. On the Difference between Consecutive Primes (англ.) // Inventiones Mathematicae : journal. — 1972. — Vol. 15, no. 2. — P. 164—170. — doi:10.1007/BF01418933.
  17. arXiv:0710.2728
  18. Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes (англ.) // Annals of Mathematics : journal. — Princeton University and the Institute for Advanced Study. Архивировано 12 июня 2013 года.
  19. Bounded gaps between primes. Polymath. Дата обращения: 21 июля 2013. Архивировано 28 февраля 2020 года.>
  20. D.H.J. Polymath. Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes (англ.) // Research in the Mathematical Sciences : journal. — 2014. — Vol. 1. — doi:10.1186/s40687-014-0012-7. — arXiv:1407.4897.
  21. Pintz, J. Very large gaps between consecutive primes (англ.) // J. Number Theory : journal. — 1997. — Vol. 63, no. 2. — P. 286—301. — doi:10.1006/jnth.1997.2081.
  22. 1 2 Guy, R. K.  (англ.). Unsolved problems in number theory (неопр.). — Third. — New York: Springer, 2004. — С. 31. — ISBN 0387208607.

Ссылки править