Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия в математической статистике — это оценка теоретической дисперсии распределения, рассчитанная на основе данных выборки. Виды выборочных дисперсий:

• смещённая;
• несмещённая, или исправленная

Определения

Пусть $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ — выборка из распределения вероятности. Тогда

• выборочная дисперсия — это случайная величина

$S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)^{2}$,

где символ ${\bar {X}}$ обозначает выборочное среднее;

• несмещённая (исправленная) дисперсия — это случайная величина

$S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}$.

Замечание

Очевидно,

$S^{2}={\frac {n}{n-1}}S_{n}^{2}$.

Свойства выборочных дисперсий

• Выборочная дисперсия является теоретической дисперсией выборочного распределения. Более точно, пусть ${\hat {F}}(x)$ — выборочная функция распределения данной выборки. Тогда для любого фиксированного $\omega \in \Omega$ функция ${\hat {F}}(\omega ,x)$ является (неслучайной) функцией дискретного распределения. Дисперсия этого распределения равна $S_{n}^{2}(\omega )$.

• Обе выборочные дисперсии являются состоятельными оценками теоретической дисперсии. Если $\mathrm {D} [X_{i}]=\sigma ^{2}<\infty$, то

$S_{n}^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}$

и

$S^{2}\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }\;\sigma ^{2}$,

где символ «$\to ^{\!\!\!\!\!\!\mathbb {P} }$» обозначает сходимость по вероятности.

• Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия — несмещённой:

$\mathbb {E} \left[S_{n}^{2}\right]={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}$,

и

$\mathbb {E} \left[S^{2}\right]=\sigma ^{2}$.

• Выборочная дисперсия нормального распределения имеет распределение хи-квадрат. Пусть $X_{i}\sim \mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2}),\;i=1,2,\ldots$. Тогда

$(n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\equiv n{\frac {S_{n}^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi ^{2}(n-1)$.

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Выборочное среднее
• Несмещённая оценка
• Дисперсия Аллана
• Доверительный интервал для дисперсии нормальной выборки