Класс Понтрягина

Класс Понтрягина — характеристический класс, определенный для вещественных векторных расслоений. Понятие введено в 1947 году советским математиком Л. С. Понтрягиным.

Для векторного расслоения $\xi$ с базой $B$ классы Понтрягина обозначаются символом $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$ и полагаются равными

$p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )$,

где $\xi \otimes \mathbb {C}$ — комплексификация расслоения $\xi$, a $c_{i}$ — классы Черна.

Полным классом Понтрягина называется неоднородный характеристический класс

$p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots$.

Если $B$ — гладкое многообразие и расслоение $\xi$ явно не указывается, то предполагается что $\xi$ есть касательное расслоение $B$.

Свойства

• Через классы Понтрягина выражаются L-класс Хирцебруха и ${\hat {A}}$-класс.
• Если $\xi$, $\eta$ — два вещественных векторных расслоения над общей базой, то класс когомологий
      $p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$ имеет порядок не больше двух.
  • В частности, если кольцо коэффициентов содержит 1/2, то выполняется равенство
        $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$.
• Классы Понтрягина с рациональными коэффициентами двух гомеоморфных многообразий совпадают (теорема С. П. Новикова)
  • Известен пример, показывающий, что целочисленные классы Понтрягина не являются топологическими инвариантами.
• Для 2k-мерного расслоения $\xi$ справедливо равенство
      $p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
  где $e(\xi )$ обозначает класс Эйлера.

Литература

• Понтрягин Л. С.  «Матем. сб.», 1947, т. 21, с. 233—84;
• Новиков С. П.  «Докл. АН СССР», 1965, т. 163, с. 298—300;
• Милнор Дж., Сташеф Дж. . Характеристические классы = Characteristic classes. — М.: Мир, 1979. — 371 с. — 6500 экз.