Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс, соответствующий вещественному векторному расслоению . Обычно обозначается через . Принимает значения в , кольце когомологий с коэффициентами в .

Компонента в -х когомологиях обозначается и называется -м классом Штифеля — Уитни расслоения , так что

Классы являются препятствиями в к построению -го линейно независимого сечения , ограниченного на остов .

Аксиоматическое определение править

Здесь и далее,   обозначает сингулярные когомологии пространства   с коэффициентами в группе  .

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению   элемент кольца гомологий   так, что выполняются следующие аксиомы:

  1. Естественность:   для любого расслоения   и отображения  , где   обозначает соответствующее индуцированное расслоение над  .
  2.   в  .
  3.   является образующей   (условие нормализации). Здесь   — это тавтологическое расслоение.
  4.   (формула произведения Уитни).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства  )[1]

Исходное построение править

Классы Штифеля — Уитни   были предложены Э. Штифелем[en] и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению  -го линейно независимого сечения  , ограниченного на  -й остов  . (Здесь   — размерность слоя   расслоения  ).

Более точно, если   является CW-комплексом, Уитни определил классы   в  -й группе клеточных когомологий   с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся  гомотопическая группа многообразия Штифеля   наборов из   линейно независимого вектора в слое  . Уитни доказал, что для построенных им классов   тогда и только тогда, когда расслоение  , ограниченное на  -скелет  , имеет   линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа   многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна  , существует каноническая редукция классов   к классам  , которые и называются классами Штифеля — Уитни.

В частности, если  , то эти классы просто совпадают.

Связанные определения править

  • Если мы работаем на многообразии размерности  , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени   может быть спарено с  -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент  ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие  ,   и  . В общем случае, если многообразие  -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям   в сумму целых слагаемых.
    • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма.
  • Естественному отображению приведения по модулю два,  , соответствует гомоморфизм Бокштейна
     
Образ класса   под его действием,  , называется  целым классом Штифеля — Уитни.
  • В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению  -структуры.

Свойства править

  • Если расслоение   имеет   сечений, линейно независимых над каждой точкой, то  .
  •   при  .
  • Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие   ориентируемо тогда и только тогда, когда  .
  • Расслоение допускает спинорную структуру, тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
  • Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения   (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает  -структуру.
  • Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия   обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература править

  • Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
  • Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
  • Милнор Дж., Сташев Дж. Характеристические классы. — М.: Мир, 1979. — 371 с.

Примечания править

  1. см. разделы 3.5 и 3.6 книги Хьюзмоллера или раздел 8 в Милноре — Сташеве.