Кольцо многочленов

Кольцо многочленов — кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца. Изучение свойств колец многочленов оказало большое влияние на многие области современной математики; можно привести примеры теоремы Гильберта о базисе, конструкции поля разложения и изучения свойств линейных операторов.

Многочлены от одной переменной над полем

Многочлены

Многочлен от x с коэффициентами в поле k — это выражение вида

$p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0},$

где p₀, …, p_m — элементы k, коэффициенты p, а x, x ², … — формальные символы («степени x»). Такие выражения можно складывать и перемножать по обычным правилам действий с алгебраическими выражениями (коммутативность сложения, дистрибутивность, приведение подобных членов и т. д.). Члены p_kx ^k с нулевым коэффициентом p_k при записи обычно опускаются. Используя символ суммы, многочлены записывают в более компактном виде:

$p=p_{m}x^{m}+p_{m-1}x^{m-1}+\cdots +p_{1}x+p_{0}=\sum _{k=0}^{m}p_{k}x^{k}.$

Кольцо многочленов k[x]

Множество всех многочленов с коэффициентами в $k$ образует коммутативное кольцо, обозначаемое $k[x]$ и называемое кольцом многочленов над $k$. Символ $x$ обычно называют «переменной», эта терминология возникла из рассмотрения полиномиальных функций над $\mathbb {R}$ или над $\mathbb {C}$. Однако, в общем случае многочлены и полиномиальные функции — это разные вещи; например, над конечным полем $\mathbb {F} _{p}$ из простого числа $p$ элементов многочлены $x^{1}$ и $x^{p+1}$ задают одну и ту же функцию, но это разные многочлены (многочлены считаются равными тогда и только тогда, когда у них совпадают все коэффициенты). Следовательно, переменную $x$ нельзя считать принадлежащей полю $k$; о кольце $k[x]$ можно думать так: мы добавляем во множество элементов поля новый элемент $x$ и требуем только того, чтобы выполнялись аксиомы кольца и чтобы $x$ коммутировал с элементами поля.

Поскольку элементы кольца многочленов можно умножать на «скаляры» из поля $k$, оно фактически является ассоциативной алгеброй над полем $k$. Если рассматривать $k[x]$ как векторное пространство (то есть «забыть» об умножении), оно имеет бесконечный базис из элементов $1=x^{0}$, $x=x^{1}$, $x^{2}$ и т. д.

Разложение на простые в k[x]

В кольце k[x] один многочлен можно разделить на другой (например, воспользовавшись алгоритмом деления столбиком) с остатком. При этом степень остатка будет меньше, чем степень делителя, это делает функцию «степень многочлена» евклидовой функцией, а кольцо многочленов — евклидовым. Из этого следует, что в кольце многочленов можно осуществить алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя, а значит, существует разложение на простые (такие кольца называются факториальными). Из этого также следует, что k[x] — область главных идеалов.

Факторкольца k[x]

Рассмотрим коммутативное кольцо L, содержащее поле k, такое что существует элемент θ кольца L, причем L порождается θ над k, то есть любой элемент L можно выразить через θ и коэффициенты из поля k с помощью операций сложения и умножения. Тогда существует единственный гомоморфизм колец φ из k[x] в L, «сохраняющий» k и отправляющий x в θ. Сюръективность этого отображения означает в точности то, что L порождется θ над k. Применив к этому отображению теорему о гомоморфизме, получаем, что L изоморфно факторкольцу k[x] по ядру φ; поскольку любой идеал в k[x] главный,

$L\simeq k[x]/(p).$

Важный частный случай — когда кольцо, содержащее k, само является полем; обозначим его K. Простота фактормодуля по $(p)$ равносильна неприводимости $p$. Теорема о примитивном элементе утверждает, что любое конечное сепарабельное расширение может быть порождено одним элементом, и, следовательно, имеет вид фактора кольца многочленов над меньшим полем по неприводимому многочлену. В качестве примера можно привести поле комплексных чисел, которое порождено над R элементом i, таким что i² + 1 = 0. Соответственно, многочлен x² + 1 неприводим над R и

$\mathbb {C} \simeq \mathbb {R} [x]/(X^{2}+1).$

Более общо, для произвольного (даже некоммутативного) кольца A, содержащего k и элемента a кольца A, коммутирующего со всеми элементами k, существует единственный гомоморфизм колец из k[x] в A, отправляющий x в a:

$\phi :k[x]\to A,\quad \phi (x)=a.$

Существование и единственность такого гомоморфизма выражается с помощью определенного универсального свойства кольца многочленов и объясняет определенную «уникальность» кольца многочленов в различных конструкциях теории колец и коммутативной алгебры.

Модули

k[x] — область главных идеалов, поэтому к модулям над ним применима соответствующая структурная теорема. Эта классификация важна в теории линейных операторов, так как модули над k[x] взаимно-однозначно соответствуют линейным операторам на k-векторном пространстве.

Многочлены над кольцом

Многочлены над кольцом определяются совершенно аналогично многочленам над полем, однако большая часть перечисленных выше свойств для них перестаёт быть верной. Во-первых, к многочленам над произвольным кольцом нельзя применить алгоритм деления столбиком — ведь в кольце невозможно делить даже на многочлены нулевой степени (константы). Следовательно, в общем случае кольцо многочленов не является евклидовым (и даже областью главных идеалов), однако R[x] останется факториальным в том случае, если само R факториально. В этом же смысле при переходе к кольцу многочленов сохраняются свойства целостности и нётеровости (последний результат известен как теорема Гильберта о базисе).

Многочлены от нескольких переменных

Определение

Многочлен от n переменных X₁,…, X_n с коэффициентами в поле K определяется аналогично многочлену от одной переменной, но обозначения становятся более сложными. Для любого мультииндекса α = (α₁,…, α_n), где каждое α_i — ненулевое целое число, пусть

$X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{\alpha _{i}}=X_{1}^{\alpha _{1}}\ldots X_{n}^{\alpha _{n}},\quad p_{\alpha }=p_{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}}\in \mathbb {K} .\$

X^α называется одночленом степени $|\alpha |=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}$. Многочлен — это конечная линейная комбинация одночленов с коэффициентами в K: $\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }$.

Многочлены от n переменных с коэффициентами в поле k (с обычными операциями сложения и умножения) образуют коммутативное кольцо, обозначаемое k[x₁,…, x_n]. Это кольцо можно получить многократным применением операции «взятие кольца многочленов над данным кольцом». Например, k[x₁, x₂] изоморфно k[x₁][x₂], как и k[x₂][x₁]. Это кольцо играет фундаментальную роль в алгебраической геометрии. Многие результаты коммутативной алгебры были достигнуты благодаря изучению идеалов этого кольца и модулей над ним.

Теорема Гильберта о нулях

Несколько фундаментальных результатов, касающихся взаимосвязи между идеалами кольца k[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями kⁿ известны под общим именем теоремы Гильберта о нулях.

• (слабая форма, алгебраически замкнутое поле) Пусть k — алгебраически замкнутое поле. Тогда любой максимальный идеал m кольца k[x₁,…, x_n] имеет вид

$m=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n}),\quad a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}.$

• (слабая форма, любое поле коэффициентов) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k и I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n]. Тогда I содержит 1 в том и только в том случае, когда многочлены из I не имеют общего нуля в Kⁿ.
• (сильная форма) Пусть k — поле, K — алгебраически замкнутое поле, содержащее k, I — идеал в кольце k[x₁,…, x_n] и V(I) — алгебраическое подмногообразие, Kⁿ определенное I. Пусть f — многочлен, равный нулю во всех точках V(I). Тогда некоторая степень f принадлежит идеалу I.

Если использовать определение радикала идеала, эта теорема утверждает, что f принадлежит радикалу I. Немедленное следствие из этой формы теоремы — существование биективного соответствия между радикальными идеалами K[x₁,…, x_n] и алгебраическими подмногообразиями n-мерного аффинного пространства Kⁿ.

См. также

• Формальный степенной ряд
• Ряд Лорана

Литература

• Tsit-Yuen Lam. A First Course in Noncommutative Rings. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2001. — ISBN 978-0-387-95325-0.
• Serge Lang. Algebra. — 3rd. — New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 211. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-95385-4.
• M. Scott Osborne. Basic homological algebra. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2000. — Т. 196. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-98934-1.