Компактный оператор

Компа́ктный опера́тор — понятие функционального анализа. Компактные операторы естественно возникают при изучении интегральных уравнений, а их свойства схожи со свойствами операторов в конечномерных пространствах. Компактные операторы также часто называют вполне непрерывными.

Определение

Пусть $X,Y$ — банаховы пространства. Линейный оператор $T:X\to Y$ называется компактным, если любое ограниченное подмножество в $X$ он переводит в предкомпактное подмножество в $Y$.

Существует эквивалентное определение, использующее понятие слабой топологии: линейный оператор $T:X\to Y$ называется компактным, если его сужение на единичный шар в $X$ является непрерывным отображением относительно слабой топологии в $X$ и нормовой топологии в $Y$. Очевидно, свойство компактности сильнее, чем ограниченность.

Множество компактных операторов $T:X\to Y$ обозначается через ${\mathcal {K}}(X,Y)$. Оно является подмножеством в пространстве ограниченных операторов ${\mathcal {L}}(X,Y)$, действующих из $X$ в $Y$.

Простейшие свойства

• Всякий вполне непрерывный оператор является ограниченным, однако не всякий ограниченный оператор является вполне непрерывным.
• Линейная комбинация вполне непрерывных операторов $A,B$ вида $\alpha A+\beta B$, где $\alpha ,\beta$ — числа, также является вполне непрерывным оператором.
• Пусть $A$ — вполне непрерывный оператор, отображающий бесконечномерное банахово пространство в себя, и $B$ — произвольный линейный ограниченный оператор, определённый на этом же пространстве. Тогда $AB$ и $BA$ являются вполне непрерывными операторами.
• Если последовательность вполне непрерывных операторов $\left\{A_{n}\right\}$, отображающих пространство $E_{x}$ в полное пространство $E_{y}$, равномерно сходится к оператору $A$ (то есть $\left\|A-A_{n}\right\|\to 0$), то $A$ также вполне непрерывный оператор.
• Если оператор компактен, то сопряженный к нему тоже компактен.

Примеры

Наиболее содержательные примеры компактных операторов доставляет теория интегральных уравнений:

• Возьмём произвольную функцию $g\in L_{2}([0,1]\times [0,1])$. Тогда определённый следующим образом интегральный оператор $T:L_{2}(0,1)\to L_{2}(0,1)$ будет компактным:

$(Tf)(t)=\int \limits _{0}^{1}g(s,t)f(s)\,ds$

• Пусть функция g на $[0,1]\times [0,1]$ имеет точки разрыва лишь на конечном числе кривых. Тогда оператор $T:C(0,1)\to C(0,1)$, определённый точно так же, как и оператор в предыдущем примере, является компактным уже в пространстве непрерывных функций.

Диагональный оператор $T_{\lambda }:l_{2}\to l_{2}$, соответствующий последовательности $\lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\dots )$ и действующий по правилу $x=(x_{1},x_{2},\dots )\to (\lambda _{1}x_{1},\lambda _{2}x_{2},\dots )$ ограничен тогда и только тогда, когда последовательность $\lambda$ ограничена, а компактность равносильна сходимости последовательности $\lambda$ к нулю.

Обратимый оператор $A:X\to Y$ компактен тогда и только тогда, когда $X,Y$ конечномерны.

Конечномерные операторы

Очевидно, что любой линейный ограниченный оператор с конечномерным образом является компактным (такие операторы называются конечномерными). Для компактного оператора $T:X\to Y$, где $Y$ — гильбертово пространство, всегда существует последовательность конечномерных операторов, сходящаяся к $T$ по норме. Однако, это неверно для произвольного пространства $Y$. Говорят, что банахово пространство $Y$ обладает свойством аппроксимации, если для любого банахова пространства $X$ любой компактный оператор $T:X\to Y$ может быть приближен конечномерными операторами. Существуют сепарабельные банаховы пространства, не обладающие свойством аппроксимации.

Свойства пространства компактных операторов

Из базовых свойств компактных операторов сразу следует, что ${\mathcal {K}}(X,Y)$ является подпространством в ${\mathcal {L}}(X,Y)$. Однако, можно показать, что это подпространство замкнуто. В случае, когда $X=Y$, пространство операторов приобретает структуру алгебры (умножение задается композицией операторов). Тогда ${\mathcal {K}}(X,X)$ является замкнутым двусторонним идеалом в ${\mathcal {L}}(X)$.

Свойство аппроксимации для пространства $Y$ можно сформулировать таким образом: для любого банахова пространства $X$ пространство ${\mathcal {K}}(X,Y)$ является замыканием пространства конечномерных операторов из $X$ в $Y$.

Спектральные свойства компактных операторов

Пусть $T:X\to X$ — компактный оператор. Тогда оператор $K=I-T$ является нетеровым оператором индекса 0 (фредгольмовым). В частности, имеем альтернативу Фредгольма для $K$: он сюръективен тогда и только тогда когда инъективен (альтернатива в том, что либо ядро не пусто, либо образ совпадает со всем пространством). Как следствие сразу получаем, что весь ненулевой спектр компактного оператора является дискретным (остаточный и непрерывный спектры могут содержать только ноль). Ноль же всегда принадлежит спектру оператора $T$ в бесконечномерном случае (иначе обратимый оператор был бы компактен) и может не быть собственным значением для оператора $T$.

В случае, когда оператор $T$ является самосопряженным (здесь $X$ гильбертово), дополнительно имеем теорему Гильберта-Шмидта: существуют конечная или счетная ортонормированная система векторов $e_{1},e_{2},\dots$ и последовательность ненулевых вещественных чисел (той же мощности, что и система векторов) $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots$, такие, что оператор $T$ действует по правилу $T(x)=\sum \limits _{n}\lambda _{n}(x,e_{n})e_{n}$. Эта теорема является естественным обобщением аналогичной теоремы для самосопряженных операторов в конечномерном пространстве. Тем самым, класс компактных операторов, с точки зрения спектральных свойств, похож на операторы в конечномерном пространстве.

Классы компактных операторов

Пусть $T:X\to Y$ — компактный оператор, $X,Y$ — гильбертовы пространства. Тогда существуют пара конечных или счетных ортонормированных последовательностей одинаковой мощности $e_{1},e_{2},\dots$ в $X$ и $f_{1},f_{2},\dots$ в $Y$ и невозрастающая последовательность положительных вещественных чисел (той же мощности) $s_{1},s_{2},\dots$, сходящаяся к нулю, если она бесконечна, такие что оператор $T$ действует по правилу $T(x)=\sum \limits _{n}s_{n}(x,e_{n})f_{n}$. Данный факт известен под названием теорема Шмидта (по формулировке она очень похожа на теорему Гильберта — Шмидта, и, в самом деле, теорема Шмидта, с небольшими изменениями для самосопряженного оператора служит доказательством для теоремы Гильберта-Шмидта). Нетрудно показать, что числа $s_{1},s_{2},\dots$, которые называются числами Шмидта, однозначно определяются оператором.

Если для оператора $T$ сходится $\sum \limits _{n}s_{n}^{2}$, то оператор называется оператором Гильберта — Шмидта. Норма вводится соотношением $\|T\|={\sqrt {\sum \limits _{n}^{\ }s_{n}^{2}}}$, причем она порождается скалярным произведением. Если же сходится $\sum \limits _{n}s_{n}$, то оператор называется ядерным или оператором со следом. На пространстве ядерных операторов норма вводится соотношением $\|T\|=\sum \limits _{n}s_{n}$.

Литература

• А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — МЦНМО, 2014. — 552 с. — 2000 экз. — ISBN 5-94057-065-8.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
• Краснов М. Л. Интегральные уравнения. — М.: Наука, 1975. — 304 с.

См. также

• Ядерный оператор
• Оператор Гильберта — Шмидта
• Фредгольмов оператор
• Непрерывный оператор