Компланарность

Компланарность (лат. com — совместность, лат. planus — плоский, ровный) — свойство трёх (или большего числа) векторов, которые, будучи приведёнными к общему началу, лежат в одной плоскости.

Два примера трёх компланарных векторов (серым цветом показана плоскость, которой они принадлежат)

Свойства

Если хотя бы один из трёх векторов — нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными. Тройка векторов, содержащая пару коллинеарных векторов, компланарна.

Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю, это свойство — основной критерий компланарности трёх векторов. Эквивалентный критерий компланарости — линейная зависимость компланарных векторов: существуют действительные числа $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$такие, что ${\vec {a}}=\lambda _{1}{\vec {b}}+\lambda _{2}{\vec {c}}$ для компланарных ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ и ${\vec {c}}$ за исключением случаев ${\vec {b}}={\vec {0}}$ или ${\vec {c}}={\vec {0}}$.

В трёхмерном пространстве три некомпланарных вектора ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ и ${\vec {c}}$ образуют базис. То есть любой вектор ${\vec {d}}\in \mathbb {R} ^{3}$ можно представить в виде: ${\vec {d}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}+x_{3}{\vec {c}}$. Тогда $\;\{x_{1},x_{2},x_{3}\}$ будут координатами ${\vec {d}}$ в данном базисе.

Обобщения

Критерии компланарности позволяют определить это понятие для векторов, понимаемых не в геометрическом смысле, а, например, как элементы произвольного векторного пространства.

Иногда компланарными называют те точки (или другие объекты), которые лежат на (принадлежат) одной плоскости. 3 точки определяют плоскость и, тем самым, всегда (тривиально) компланарны. 4 точки, в общем случае (в общем положении), некомпланарны.

Можно распространить понятие компланарности и на прямые в пространстве. Тогда параллельные или пересекающиеся прямые будут компланарны, а скрещивающиеся прямые — нет.