Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) является инструментом построения базисов вейвлетов. Он был разработан в 1988/89 гг. Малла и И. Мейром. Идея кратномасштабного анализа заключается в том, что разложение сигнала производится по ортогональному базису, образованному сдвигами и кратномасштабными копиями вейвлетной функции. Свертка сигнала с вейвлетами позволяет выделить характерные особенности сигнала в области локализации этих вейвлетов.

Понятие кратномасштабного анализа (КМА) является фундаментальным в теории вейвлетов. Для кратномасштабного анализа разработан быстрый каскадный алгоритм вычислений, подобный быстрому преобразованию Фурье.

Определение

При выполнении КМА пространство сигналов $L^{2}(\mathbb {R} )$ представляется в виде системы вложенных подпространств $V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$, отличающихся друг от друга перемасштабированием независимой переменной. Таким образом, кратномасштабным анализом (КМА) в $L^{2}(\mathbb {R} )$ называется совокупность замкнутых пространств $V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$ если выполнены некоторые условия.

(1) Условие вложенности:

$V_{j}\subset V_{j+1}$ для всех $j\in \mathbb {Z}$. Все пространство сигналов $L^{2}(\mathbb {R} )$ в целом может быть представлено в виде последовательности вложенных друг в друга замкнутых подпространств соответствующих уровней $m$ декомпозиции сигнала;

(2) Условие полноты и плотности разбиения:

$\bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}$ плотно в $L^{2}(\mathbb {R} );$

(3) Условие ортогональности подпространств:

$\bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};$

(4) Условие сохранения в подпространстве при сдвигах функций:

$f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};$

(5) Масштабное преобразование любой функции $f(t)\in V_{j}$ по аргументу в 2 раза перемещает функцию в соседнее подпространство:

$f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};$

$f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};$

(6) Существует $r(t)\in V_{0}$, целочисленные сдвиги которой по аргументу образуют ортонормированный базис пространства $V_{0}$:

$f_{0,k}(t)=f(t-k),k\in \mathbb {Z} .$ Функция $r(t)$ называется скейлинг-функцией (scaling function).

Свойства

Обозначим сдвиги и растяжения функции $f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .$

• Для любого $j\in \mathbb {Z}$ функции $\varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z}$ образуют ортонормированный базис в $V_{j}.$

• Если $f\in V_{j},$ то $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z}$.

• Функция $\varphi$ из условия (5) называется масштабирующей для данного КМА.

Построение ортогональных базисов всплесков

Пусть $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ образуют КМА. Обозначим через $W_{j}$ ортогональное дополнение к $V_{j}$ в пространстве $V_{j+1}.$ Тогда пространство $V_{j+1}$ раскладывается в прямую сумму $V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.$ Таким образом, проводя последовательное разложение пространств $V_{j}$ и учитывая условие (3), получим $V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.$ А используя условие (2), имеем: $L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j}}}.$

Таким образом, пространство $L_{2}(\mathbb {R} )$ разложено в прямую сумму попарно ортогональных подпространств $W_{j}.$ Важным является то, что функция $\varphi$ порождает другую функцию $\psi \in W_{0},$ целочисленные сдвиги которой являются ортонормированным базисом в $W_{0}.$ Построение такой $\psi$ может быть осуществлено при помощи следующей теоремы.

Пусть $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ — КМА с масштабирующей функцией $\varphi ,$ $m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }$ — её маска, система $\{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} }$ является ортонормированной,

$\psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.$

Тогда функции $\psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z}$ образуют ортонормированный базис пространства $L_{2}(\mathbb {R} ).$

Многомерный КМА

В общем случае $n-$мерного пространства ортонормированный базис образует $2^{n}-1$ функций, при помощи которых осуществляется КМА любой функции их $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ пространства, при этом нормировочный множитель равен $2^{nm/2}$.

Примечания

• Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
• Новиков И. Я., Протасов В. Ю., Скопина М. А., Теория Всплесков, (2005), Физматлит, Москва, ISBN 5-9221-0642-2