Кривая роста (спектроскопия)

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$ спектральной линии поглощения от количества атомов $N$, которые поглощают излучение в этой линии. Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд.

Общий вид кривой роста

Кривую роста делят на три качественно различимых области. При малых $N$ оптическая толщина поглощающего слоя мала, и эквивалентная ширина растёт прямо пропорционально $W\propto N$ — эта часть кривой роста называется линейной. При достаточно большом $N$ оптическая толщина становится больше единицы: центральная глубина линии перестаёт расти, происходит насыщение линии в центре и рост эквивалентной ширины продолжается за счёт крыльев линии. На этом участке кривой роста, называемом пологим, $W\propto {\sqrt {\ln N}}$. При ещё большем $N$ начинают заметно расти части крыльев, описываемые лоренцевским профилем. Эта часть кривой роста называется областью затухания излучения, на ней $W\propto {\sqrt {N}}$.

Кривые роста можно рассчитать теоретически для различных условий в атмосфере звезды. По ним можно определять содержание тех или иных химических элементов в атмосфере звезды, а сравнивая теоретические кривые роста с наблюдаемыми, можно определять различные параметры атмосферы, от которых зависит вид самой кривой роста — например, температуру или скорость микротурбулентных движений.

Зависимость эквивалентной ширины линии поглощения от числа атомов, её образующих, впервые показал в 1931 году Марсел Миннарт.

Описание

Кривая роста — зависимость эквивалентной ширины $W$ спектральной линии поглощения от количества атомов $N$, которые поглощают излучение в этой линии.

Как правило, о кривых роста говорят в отношении линий поглощения в спектрах звёзд. Излучение, выходящее из фотосферы звезды, имеет непрерывный спектр, но при прохождении его через внешние слои звёздной атмосферы излучение поглощается на некоторых длинах волн — в спектре появляются линии поглощения. В каждой такой спектральной линии излучение поглощается определённым атомом в некотором энергетическом состоянии, поэтому чем больше таких атомов на пути излучения, тем сильнее будет поглощение в спектральной линии.

Кривая роста может быть разделена на три части, в порядке возрастания $N$: линейную, где $W\propto N$; пологую, или переходную, в которой $W\propto {\sqrt {\ln N}}$; и область затухания излучения, где $W\propto {\sqrt {N}}$.

• 
  Вид профиля спектральной линии Лайман-альфа в единицах интенсивности непрерывного спектра при разных концентрациях водорода: от 10¹² атомов на см² для линии наименьшей глубины до 10²⁰ атомов на см² для самой глубокой линии. Между соседними линиями концентрация меняется в 10 раз.
• 
  Кривые роста для линии Лайман-альфа при разной доплеровской ширине линии $b_{d}$, связанной с половинной полушириной $g$ гауссовского профиля линии (см. ниже) как $b_{d}=g/{\sqrt {\ln 2}}$.

Теория

Эквивалентная ширина

Кривая — профиль спектральной линии поглощения. Эквивалентная ширина W — это ширина прямоугольника (зелёный цвет) при условии, что его площадь равна площади над профилем линии (синий цвет).

Для описания интенсивности спектральных линий поглощения используется понятие эквивалентной ширины $W$: это размер области в длинах волн ($W_{\lambda }$) или в частотах ($W_{\nu }$), в которой непрерывный спектр излучает суммарно столько же энергии, сколько поглощается во всей линии.

Более строго $W$ определяется следующим образом. Интенсивность излучения в спектре на частоте $\nu$ обозначается как $I_{\nu }$, а интенсивность в таком же спектре при отсутствии рассматриваемой линии — $I_{\nu }^{0}$: для нахождения $I_{\nu }^{0}$ проводится экстраполяция соседних с линией областей спектра на область, где наблюдается линия, как если бы она отсутствовала. Вводится параметр $a_{\nu }=1-I_{\nu }/I_{\nu }^{0}$, называемый глубиной линии и представляющий собой долю излучения на частоте $\nu$, которая была поглощена. Тогда эквивалентная ширина связана с ним соотношением ${\textstyle W_{\nu }=\int _{\nu _{1}}^{\nu _{2}}a_{\nu }d\nu }$ или ${\textstyle W_{\lambda }=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}a_{\lambda }d\lambda }$ — аналогичные рассуждения можно провести для спектра по длинам волн, а не частотам. Теоретически интегрирование должно производиться от $0$ до $\infty$, но на практике интегрируют на конечном интервале, включающем в себя основные части линии — как правило, ширина интервала составляет не более нескольких десятков нанометров. В то же время $a_{\nu }$ связана с оптической толщиной поглощающего слоя $\tau _{\nu }$ на частоте $\nu$ как $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$, а $\tau _{\nu }$ прямо пропорциональна количеству атомов, отвечающих за поглощение в линии, на единицу площади на луче зрения $N$.

Поведение при малой оптической толщине

В любом случае, когда $N$ мало, то мала и $\tau _{\nu }$ во всех частях линии. Тогда $a_{\nu }=1-e^{-\tau _{\nu }}$ возрастает практически линейно с ростом $\tau _{\nu }$, и, следовательно, $W\propto N$. Когда оптическая толщина становится достаточно большой, то рост $a_{\nu }$ в центре линии замедляется, а затем практически останавливается — линейный рост продолжается, пока оптическая толщина в центре линии $\tau _{0}$ по порядку величины меньше единицы. Увеличение $W$ замедляется, но не прекращается, поскольку в крыльях — боковых частях линии — $\tau _{\nu }$ ещё невелико. Связь между $W$ и $N$ для оптически толстых сред зависит от вида профиля спектральной линии.

Поведение при большой оптической толщине

Как правило, различные механизмы уширения, отдельно взятые, приводят либо к гауссовскому распределению $\tau _{\nu }$ (например, тепловое движение атомов), либо к лоренцевскому распределению (к примеру, естественная ширина линии и уширение за счёт столкновений). Совместное действие этих механизмов приводит к образованию фойгтовского профиля, который является свёрткой гауссовского и лоренцевского. Поскольку в лоренцевском профиле крылья убывают гораздо медленнее, чем в гауссовском, то в соответствующем фойгтовском профиле дальние части крыльев в любом случае близки к лоренцевскому профилю. Вид центральной части линии зависит от ширин гауссовского и лоренцевского профилей: если гауссовский профиль значительно шире, то центральная часть фойгтовского профиля будет близка к гауссовскому, и наоборот.

Гауссовский профиль

Распределение оптической толщины в линии с гауссовским профилем имеет следующий вид:

$\tau (x)=\tau _{0}\exp \left(-{\frac {x^{2}\ln 2}{g^{2}}}\right),$

где $\tau _{0}$ — оптическая толщина в центре линии, $g$ — половинная полуширина линии, $x$ — расстояние до центра линии. Для удобства можно сделать замену ${\textstyle u={\frac {x{\sqrt {\ln 2}}}{g}}}$, тогда $u$ — расстояние от центра линии в величинах доплеровской ширины, равной $g/{\sqrt {\ln 2}}$. Эквивалентная ширина линии с такими параметрами может быть выражена так:

$W={\frac {2g}{\sqrt {\ln 2}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-\tau _{0}e^{-u^{2}}\right]\right)du$

Интеграл в этом выражении не берётся аналитически, но можно приближённо считать, что при больших $\tau _{0}$, соответствующих насыщенным линиям, подынтегральное выражение близко к 0 при больших $u$ и к 1 при малых. Условием границы между «большими» и «малыми» $u$ можно взять значение $u_{0}$, при котором $\tau _{0}e^{-u_{0}^{2}}=1$. Это условие выполняется при $u_{0}={\sqrt {\ln \tau _{0}}}$, так что $W$ с хорошей точностью оказывается пропорционально ${\sqrt {\ln \tau _{0}}}$, а значит, $W\propto {\sqrt {\ln N}}$. Приближённое вычисление самого интеграла приводит к такому же результату.

Лоренцевский профиль

В линии с лоренцевским профилем распределение оптической толщины записывают в виде:

$\tau (x)=\tau _{0}{\frac {l^{2}}{l^{2}+x^{2}}},$

где $\tau _{0}$ — оптическая толщина в центре линии, $l$ — половинная полуширина линии, $x$ — расстояние до центра линии. Для удобства делается замена ${\textstyle y=x/l}$, тогда $y$ — расстояние от центра линии в единицах половинной полуширины. Эквивалентная ширина в этом случае принимает вид:

$W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}+1}}\right]\right)dy$

При достаточно больших $\tau _{0}$ центр линии оказывается насыщенным, а убывание оптической толщины в крыльях происходит приблизительно как $y^{-2}$. Тогда ширина приближённо выражается:

$W=2l\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-{\frac {\tau _{0}}{y^{2}}}\right]\right)dy$

Если сделать замену ${\textstyle z^{2}=\tau _{0}/u^{2}}$:

$W=2l{\sqrt {\tau _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left(1-\exp \left[-z^{2}\right]\right)d(1/z)$

Таким образом, для лоренцевского профиля $W$ растёт пропорционально${\sqrt {\tau _{0}}}$, а значит, $W\propto {\sqrt {N}}$.

Фойгтовский профиль

Линии поглощения в спектрах звёзд, как правило, описываются фойгтовским профилем, в котором лоренцевская ширина очень мала по сравнению с гауссовской. Это значит, что центральные части линий близки к гауссовским, а крылья — к лоренцевским.

Таким образом, при достаточно больших значениях $N$ оптическая толщина в центре становится больше единицы, но крылья лоренцевского профиля ещё слишком слабы, и рост $W$ происходит в основном за счёт областей, где профиль линии близок к гауссовскому — пропорционально ${\sqrt {\ln N}}$. При очень больших $N$ дальние части крыльев линии, описываемые лоренцевским профилем, становятся достаточно сильными и $W$ начинает расти приблизительно пропорционально ${\sqrt {N}}$. Типичное значение оптической толщины в центре линии, при которой происходит переход от пологой части кривой роста к области радиационного затухания, составляет около 10³, хотя оно зависит от отношения лоренцевской и гауссовской ширины: чем больше лоренцевская ширина, тем при меньших $\tau _{0}$ происходит переход.

Использование

Кривые роста можно рассчитать теоретически для заданной модели звёздной атмосферы — в общем случае для этого необходимо решать уравнение переноса излучения для заданных условий в атмосфере звезды, таких как температура, плотность вещества и других параметров в зависимости от глубины в атмосфере. Таким образом, сравнение теоретических кривых роста с наблюдаемыми позволяет измерять те параметры звёзд, от которых зависит кривая роста, а эквивалентные ширины линий позволяют определять содержание соответствующих химических элементов.

Для отдельно взятой звезды кривая роста определённой линии может быть построена по мультиплетам — наборам спектральных линий, которые соответствуют переходам с общего нижнего уровня. Число атомов $N$ неизвестно для данной звезды, но для всех этих переходов заведомо одно и то же. Кроме того, обычно известны вероятности переходов, поэтому для мультиплета может быть выбрано подходящее семейство кривых роста и определено $N$.

Вид кривой роста зависит, к примеру, от температуры звезды и от скорости микротурбулентных движений газа в ней. Повышение температуры и увеличение скорости микротурбулентности увеличивают гауссовскую ширину линии, уменьшая при этом оптическую глубину в её центре — при этом эквивалентная ширина остаётся прежней, но насыщение линии и прекращение линейного роста наступает при большем $N$ и при большей эквивалентной ширине. Кроме того, микротурбулентность и температура по-разному влияют на кривую роста: при одной и той же температуре атомы разных масс имеют разные средние скорости, и гауссовская ширина линий таких атомов различается. Микротурбулентность же вызывает движение с одинаковыми скоростями — это позволяет разделять эффекты температуры и микротурбулентности.

История изучения

В 1931 году Марсел Миннарт впервые показал, как эквивалентная ширина линии поглощения зависит от числа атомов, её образующих. Другие учёные, среди которых были Дональд Мензел и Альбрехт Унзольд, впоследствии дорабатывали теорию кривой роста.

Литература

• Соболев В. В. Курс теоретической астрофизики. — Изд. 3-е, переработанное. — М.: Наука, 1985. — 504 с.