Функция Гудермана

Фу́нкция Гудерма́на (гудерманиа́н, или гиперболи́ческая амплиту́да) — функция, показывающая связь тригонометрических и гиперболических функций без привлечения комплексных чисел. Названа в честь немецкого математика Кристофа Гудермана. Обозначается $\operatorname {gd} x,\,\operatorname {amph} x$ или $\gamma (x).$ Возникает в задаче отображения плоскости на сферу в картографической проекции Меркатора.

Функция Гудермана с асимптотами $y=\pm \pi /2$, показанными синим цветом

Определение и свойства

Гудерманиан определяется следующим образом:

$\operatorname {gd} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\operatorname {ch} \,t}}.$

Основные соотношения, иногда используемые как альтернативные определения:

$\operatorname {gd} x\,=2\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {th} {\frac {x}{2}}\right)\,=\,2\,\operatorname {arctg} \,e^{x}-{\pi \over 2}\,=\,\operatorname {arctg} (\operatorname {sh} x)=\,\arcsin(\operatorname {th} x).$

Имеют место также следующие тождества, связывающие через гудерманиан тригонометрические и гиперболические функции:

$\operatorname {th} {\frac {x}{2}}=\operatorname {tg} {\frac {\operatorname {gd} x}{2}}$

$\operatorname {sh} x=\operatorname {tg} (\operatorname {gd} x)$

$\operatorname {ch} x=\sec(\operatorname {gd} x)$

$\operatorname {th} x=\sin(\operatorname {gd} x)\$

$\operatorname {sech} x=\cos(\operatorname {gd} x)\$

$\operatorname {csch} x=\operatorname {ctg} (\operatorname {gd} x)\$

$\operatorname {cth} x=\operatorname {cosec} (\operatorname {gd} x)\$

Гудерманиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на всей числовой прямой. Его область значений лежит на отрезке (−π/2, π/2). Значения ±π/2 являются асимптотами функции при стремлении её аргумента к $\pm \infty .$

Используя определение функции Гудермана, можно расширить её область определения на комплексную плоскость. Для комплексного аргумента z = x + iy выполняются тождества:

Функция Гудермана (зелёный) существенно быстрее стремится к асимптоте $\pi /2$ (штриховая линия), чем арктангенс (красный).

$\operatorname {tg} \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)={\frac {\operatorname {sh} x}{\cos y}},$

$\operatorname {th} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)={\frac {\sin y}{\operatorname {ch} x}},$

$\operatorname {th} x={\frac {\sin \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)}{\operatorname {ch} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)}},$

$\operatorname {tg} y={\frac {\operatorname {sh} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)}{\cos \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)}},$

а также

$\operatorname {th} x\cdot \operatorname {tg} y=\operatorname {tg} \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)\cdot \operatorname {th} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z).$

Связь гудерманиана и экспоненциальной функции задаётся тождествами:

$e^{x}=\sec \operatorname {gd} x+\operatorname {tg} \operatorname {gd} x=\operatorname {tg} {\frac {\pi +2\operatorname {gd} x}{4}}={\frac {1+\sin \operatorname {gd} x}{\cos \operatorname {gd} x}}.$

Обратная функция

Функция Ламберта (ламбертиан, антигудерманиан), обратная к функции Гудермана

Обратная функция к функции Гудермана:

$\operatorname {arcgd} x\,=\,{\operatorname {gd} }^{-1}x\,=\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt}{\cos t}}.$

Она называется антигудерманианом, а также ламбертианом или функцией Ламберта (в честь Иоганна Ламберта), и обозначается также как $\operatorname {lam} x$ или $\operatorname {arcgd} x.$ Её, как и функцию Гудермана, используют в теории построения картографических проекций; она позволяет перейти от географической широты точки на сфере к вертикальной координате образа точки в проекции Меркатора (см. также Интеграл от секанса). Основные тождества для функции Ламберта:

$\operatorname {arcgd} x\,=\,\operatorname {arch} (\sec x)=\operatorname {arth} (\sin x)=\operatorname {arsh} (\operatorname {tg} x)\,=\,\ln {\bigl (}(1+\sin(x))\cdot \sec x{\bigr )}\,=\,\ln(\operatorname {tg} x+\sec x)=\ln {\biggl (}\!\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\!\!{\biggr )}\,=\,{\frac {1}{2}}\ln {\biggl (}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\biggr )}.$

Имеют место также следующие тождества, связывающие через ламбертиан тригонометрические и гиперболические функции:

${\begin{aligned}\operatorname {sh} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\operatorname {tg} x;&\quad \operatorname {ch} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\sec x;\\\operatorname {th} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\sin x;&\quad \;\operatorname {sch} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\cos x;\\\operatorname {cth} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\operatorname {cosec} x;&\quad \,\operatorname {csch} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\operatorname {ctg} x;\\\operatorname {th} \left({\frac {\operatorname {arcgd} x}{2}}\right)&=\operatorname {tg} {\frac {x}{2}};&\quad \,\operatorname {cth} \left({\frac {\operatorname {arcgd} x}{2}}\right)&=\operatorname {ctg} {\frac {x}{2}}.\\\end{aligned}}\,\!$

Ламбертиан является нечётной, строго возрастающей функцией, определённой на интервале (−π/2, π/2). Её область значений лежит в интервале $\pm \infty .$ Как и функция Гудермана, она может быть обобщена для комплексного аргумента.

Функция Гудермана и функция Ламберта связаны следующим соотношением:

$\operatorname {gd} (ix)\,=\,i\operatorname {arcgd} x,$

откуда вытекают также соотношения

$\operatorname {gd} (i\operatorname {gd} x)=ix,\qquad \operatorname {arcgd} (i\operatorname {arcgd} x)=ix.$

Производные, ряды и интегралы

Производные функции Гудермана и обратной функции Гудермана равны соответственно гиперболическому и тригонометрическому секансу:

${d \over dx}\,\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x,$

${d \over dx}\,\operatorname {arcgd} x=\sec x.$

Разложение в ряд:

$\operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots ,$

$\operatorname {arcgd} x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7}}{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\dots$

Коэффициенты разложения гудерманиана и антигудерманиана при членах одинаковой степени совпадают по модулю, однако у членов со степенью 3, 7, 11,... коэффициенты разложения гудерманиана отрицательны, а у обратной функции — положительны.

Интеграл функции Гудермана:

$\int \operatorname {gd} zdz=-{\frac {\pi }{2}}z+i\left(\operatorname {Li_{2}} (-ie^{x})-\operatorname {Li_{2}} (ie^{x})\right),$

где Li₂ — дилогарифм.

Гудерманиан и антигудерманиан, позволяющие легко переходить от гиперболических к тригонометрическим функциям и обратно, используются для аналитического интегрирования методом тригонометрической и гиперболической подстановки.

Литература

• Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1963. 1100 с.
• Янпольский А. Р. Гиперболические функции. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы. 1960. С. 47—50.
• Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) // Специальные функции: формулы, графики, таблицы / Пер. с 6-го переработанного немецкого издания под ред. Л. И. Седова. — М.: Наука, 1964. — С. 33—34. — 344 с.
• Брусиловский Г. К. Интегрирование с помощью гиперболических функций и гудерманиан // Математическое просвещение. Сборник статей по элементарной и началам высшей математики. Выпуск 13. / Под ред. Р. Н. Бончковского. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 80 с. — 5000 экз.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Функция Гудермана (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.