Лемма Йонеды (Ёнэды) — результат о функторе Hom; теоретико-категорное обобщение классической теорико-групповой теоремы Кэли (если рассматривать группу как категорию из одного объекта). Лемма позволяет рассмотреть вложение произвольной категории в категорию функторов из неё в категорию множеств. Является важным инструментом, позволившим получить множество результатов в алгебраической геометрии и теории представлений.

Названа Саундерсом Маклейном в честь Нобуо Ёнэды, сообщившего ему этот результат в частной беседе в 1954 или 1955 году.

Общий случай править

В произвольной (локально малой) категории для данного объекта   можно рассмотреть ковариантный функтор Hom, обозначаемый:

 .

Лемма Йонеды утверждает, что для любого объекта   категории  , естественные преобразования из   в произвольный функтор   из категории   в категорию множеств   находятся во взаимно-однозначном соответствии с элементами  :

 .

Для данного естественного преобразования   из   в   соответствующий элемент   — это  , то есть естественное преобразование однозначно определяется образом тождественного морфизма.

Контравариантная версия леммы рассматривает контравариантный функтор:

 ,

отправляющий   во множество  . Для произвольного контравариантного функтора   из   в  

 .

Используется мнемоническое правило «падать во что-то» при рассмотрении морфизмов в зафиксированный объект.

Доказательство леммы Йонеды представлено на следующей коммутативной диаграмме:

 

Диаграмма показывает, что естественное преобразование   полностью определяется  , так как для любого морфизма  :

 .

Более того, эта формула задаёт естественное преобразование для любого   (так как диаграмма коммутативна). Доказательство контравариантного случая аналогично.

Вложение Йонеды править

Частный случай леммы Йонеды — когда функтор   также является функтором Hom. В этом случае ковариантная версия леммы Йонеды утверждает, что:

 .

Отображение каждого объекта   категории   в соответствующий Hom-функтор   и каждый морфизм   в соответствующее естественное преобразование   задаёт контравариантный функтор   из   в  , либо ковариантный функтор:

 .

В этой ситуации лемма Йонеды утверждает, что   — вполне унивалентный функтор, то есть задаёт вложение   в категорию функторов в  .

В контравариантном случае по лемме Йонеды:

 .

Следовательно   задаёт вполне унивалентный ковариантный функтор (вложение Йонеды):

 .

Литература править

  • Freyd, Peter (1964), Abelian categories, Harper's Series in Modern Mathematics (2003 reprint ed.), Harper and Row, Zbl 0121.02103
  • Mac Lane, Sounders. The Yoneda Lemma (англ.). — 1998. — Vol. 47, no. 1. — P. 155—156.
  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.