Упорядоченная группа

Упорядоченная группа — группа, для всех элементов которой определён линейный порядок, согласованный с групповой операцией. Вообще говоря, группа может быть не коммутативной.

Теория упорядоченных групп объединяет методы теории групп и теории порядка, является разделом абстрактной алгебры и проникает в теорию одномерных динамических систем.

Коммутативная упорядоченная группа

Далее в этом разделе группа считается аддитивной, то есть групповая операция обозначается как сложение, ноль группы обозначается символом $0$.

Определение

Пусть $G$ — коммутативная группа и для её элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение $\leqslant$ (меньше или равно) со следующими свойствами:

1. Рефлексивность: $x\leqslant x$.
2. Транзитивность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant z$, то $x\leqslant z$.
3. Антисимметричность: если $x\leqslant y$ и $y\leqslant x$, то $x=y$.
4. Линейность: все элементы группы сравнимы между собой, то есть для любых $x,y$ либо $x\leqslant y$, либо $y\leqslant x$.

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с групповой операцией:

5. Если $x\leqslant y$, то для любого z справедливы соотношения:

$x+z\leqslant y+z;\quad z+x\leqslant z+y.$

Если все пять аксиом выполнены, то группа $G$ называется упорядоченной (или линейно упорядоченной). Если снять требование линейности (аксиома 4), то группа называется частично упорядоченной.

Упорядоченная группа является топологической группой с топологией интервального типа.

Связанные определения

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно: $x\geqslant y$ означает, что $y\leqslant x$.

Отношение больше: $x>y$ означает, что $x\geqslant y$ и $x\neq y$.

Отношение меньше: $x<y$ означает, что $y>x$.

Формула с любым из этих четырёх отношений называется неравенством.

Назовём изоморфизм упорядоченных групп у-изоморфизмом, если он сохраняет порядок.

Подгруппа $H$ упорядоченной группы $G$ называется выпуклой, если все элементы $g\in G$, находящиеся между элементами $H,$ принадлежат $H.$ Формальная запись: если $h_{1},h_{2}\in H$ и $h_{1}\leqslant g\leqslant h_{2},$ то $g\in H.$ Подгруппа из одного нуля, очевидно, выпукла и называется тривиальной.

Свойства

Неравенства с одинаковыми типами отношения можно складывать, например:

Если $a<b$ и $c<d,$ то $a+c<b+d$

Нетривиальная конечная группа не может быть упорядочена. Другими словами, нетривиальная упорядоченная группа всегда бесконечна.

Архимедовость

Порядок в группе называется архимедовым, если для любых $a>0$ и $b>0$ найдётся такое натуральное $n,$ что:

$\underbrace {a+a+\ldots +a} _{n}>b$

Теорема Гёльдера. Всякая архимедова упорядоченная группа у-изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел (с обычным порядком); в частности, такая группа всегда коммутативна.

Следствие 1: всякий у-автоморфизм двух подгрупп аддитивной группы вещественных чисел сводится к растяжению, то есть к умножению на фиксированный коэффициент.

Следствие 2: группа у-автоморфизмов архимедовой группы изоморфна подгруппе мультипликативной группы положительных вещественных чисел.

Ещё один критерий архимедовости: упорядоченная группа является архимедовой тогда и только тогда, когда она не содержит нетривиальных выпуклых подгрупп.

Положительные и отрицательные элементы

Элементы, бо́льшие нуля группы, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. При добавлении нуля к этим двум множествам получаются соответственно множество неотрицательных и неположительных элементов. Если $x\geqslant 0,$ то, прибавив $-x,$ получим, что $-x\leqslant 0.$ Это значит, что элементы, обратные неотрицательным, неположительны, и обратно. Таким образом, всякий элемент упорядоченной группы относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, ноль.

Обозначим $P$ множество неотрицательных элементов. Тогда $-P,$ то есть множество элементов, противоположных элементам $P,$ содержит все неположительные элементы. Перечислим свойства этих множеств.

(P1) $P$ замкнуто относительно сложения.

(P2) $-P$ имеет с $P$ ровно один общий элемент — ноль группы: $P\cap (-P)=\{0\}.$

(P3) $(-g)+P+g\subset P$ для любого $g\in G.$

(P4) $P\cup (-P)=G.$

Конструктивное построение порядка

Один из способов определить в произвольной группе $G$ линейный порядок — выделить в ней подмножество неотрицательных чисел P, обладающее перечисленными выше свойствами [P1—P4].

Пусть такое $P$ выделено. Определим линейный порядок в $G$ следующим образом:

$x\leqslant y$, если $y-x\in P$ (отметим, что из свойства (P3) следует, что если $y-x\in P,$ то и $-x+y\in P,$ даже если группа не коммутативна).

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любая упорядоченная группа может быть построена (из неупорядоченной) с помощью описанной процедуры.

Абсолютная величина

Определим абсолютную величину элементов группы: $|x|=max(x,-x).$ Здесь функция $max$ осуществляет выбор наибольшего значения.

Свойства абсолютной величины:

• $|x|=0$ тогда и только тогда, когда $x=0.$
• Для всех ненулевых $x$ и только для них $|x|>0.$
• Абсолютные величины противоположных чисел совпадают: $|x|=|-x|.$
• Неравенство треугольника: $|x+y|\leqslant |x|+|y|.$
• $|x|\leqslant y$ равносильно $-y\leqslant x\leqslant y.$

Примеры

• Аддитивная группа целых, рациональных или вещественных чисел с обычным порядком.
• Мультипликативная группа положительных вещественных чисел с обычным порядком.
• Рассмотрим аддитивную группу вещественных многочленов $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}.$ Определим в ней множество $P$ неотрицательных элементов как множество многочленов, в указанной записи которых первый ненулевой коэффициент положителен. Тогда порождённый порядок определяет упорядоченную коммутативную группу.
• Определим в аддитивной группе $G$ всех комплексных чисел множество $P$ неотрицательных элементов следующим образом: $a+bi\in P,$ если либо $a>0,$ либо $a=0;b\geqslant 0.$ Другими словами, из двух комплексных чисел больше то, у которого больше вещественная часть, а в случае совпадения — то, у которого больше мнимая часть. Тогда порождённый порядок превращает $G$ в упорядоченную коммутативную группу с неархимедовым порядком. В ней, например, $0<i<1,$ причём сумма любого количества $i$ всегда меньше 1, так что мнимая единица при таком порядке выступает как бесконечно малая по отношению к единице. Описанный порядок согласован с порядком вещественных чисел и со сложением комплексных чисел, но не согласован с умножением: умножив на $i$ неравенство $i>0,$ мы получим ошибочное неравенство $-1>0$. Доказано, что согласовать обе операции, то есть сделать комплексные числа упорядоченным полем, нельзя.

Некоммутативная группа

Для некоммутативной группы определение порядка следующее.

Частичный порядок $\leqslant$ на группе $(G,\ast )$ называется

• правоинвариантным, если для любых $x,y,z\in G$ из $x\leqslant y$ следует $x\ast z\leqslant y\ast z$,
• левоинвариантным, если для любых $x,y,z\in G$ из $x\leqslant y$ следует $z\ast x\leqslant z\ast y$,
• двусторонне инвариантным, если он является и правоинвариантным, и левоинвариантным.

Группа называется правоупорядочиваемой или левоупорядочиваемой, если на ней можно ввести, соответственно, правоинвариантный или левоинвариантный линейный порядок. А если на группе можно ввести двусторонне инвариантный линейный порядок, то её называют двусторонне упорядочиваемой, линейно упорядочиваемой или просто упорядочиваемой. В случае абелевых групп данные понятия совпадают.

Группа правоупорядочиваема тогда и только тогда, когда она левоупорядочиваема. А именно, порядок $\leqslant$ является правоинвариантным тогда и только тогда, когда порядок $\leqslant ^{\prime }$, заданный по правилу $x\leqslant ^{\prime }y\Longleftrightarrow y^{-1}\leqslant x^{-1}$, является левоинвариантным. Таким образом, для установления общих свойств упорядоченных групп достаточно рассматривать только правоинвариантные порядки. При этом существуют группы, являющиеся правоупорядочиваемыми, но не двусторонне упорядочиваемыми. Например, группы кос.

Также в литературе рассматривают различные ослабления вышеуказанных свойств. Например, ослабление требования линейности порядка приводит к понятию частично упорядоченной группы.

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — 300 с..
• Кокорин А. И., Копытов В. М. Линейно упорядоченные группы. — М.: Наука, 1972. — 343 с.
• Копытов В. М., Медведев Н. Я.. Правоупорядоченные группы (рус.). — Новосибирск: Научная книга, 1996. — 256 с. — ISBN 588119005X.
• Линейно упорядоченная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 322.
• Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с.
• Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. — М.: Мир, 1965. — 343 с.