Метод конечных разностей во временной области
Метод конечных разностей во временно́й области (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) или метод Йи — численный метод впервые применённый к задачам электродинамики китайско-американским математиком Кейном С. Йи, основанный на дискретизации уравнений Максвелла методом конечных разностей. Поскольку это метод временной области, решения FDTD охватывают широкий диапазон частот за один прогон и учитывают нелинейные свойства материала естественным образом на этапе дискретизации.
Метод FDTD относится к общему классу сеточных методов дифференциального численного моделирования (методы конечных разностей). Зависящие от времени уравнения Максвелла (в форме с частными производными) дискретизируются с использованием центрально-разностных приближений частных производных по пространству и времени. Получающиеся в результате конечно-разностные уравнения решаются по алгоритму «перескока»: компоненты вектора электрического поля в объёме пространства решаются в данный момент времени; тогда как компоненты вектора магнитного поля в том же пространственном объёме находятся в следующий момент времени; и процесс повторяется снова и снова до тех пор, пока полностью не будет достигнуто желаемое переходное или установившееся поведение электромагнитного поля.
FDTD метод применяется для многих задач, связанных с непрерывными средами и распространением волн в них: гидродинамики, акустики, квантовой механики и так далее.
Описание править
FDTD относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Базовый алгоритм метода был впервые предложен Кейном Йи (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье «Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журнала «IEEE Transactions on Antennas and Propagation»[1]. Однако, название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны методу Алленом Тафловом (Северо-западный университет, штат Иллинойс).
В первоначальном узком смысле под FDTD подразумевалось использование базового алгоритма Йи для численного решения уравнений Максвелла. В современном более широком смысле FDTD включает в себя множество самых разнообразных возможностей: моделирование сред с дисперсными и нелинейными свойствами, применение различных типов сеток (помимо первично предложенной прямоугольной сетки Йи), использование методов постпроцессорной обработки результатов и т. д.
Примерно с 1990 г. метод конечных разностей стал основным для моделирования самых разных оптических приложений. Он может быть с успехом применен для решения широкого спектра задач: от моделирования сверхдлинных электромагнитных волн в геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.
В настоящее время существует порядка 30 коммерческих программ FDTD, а также проекты с открытым исходным кодом (в числе которых несколько русских).
Алгоритм Йи править
В уравнениях Максвелла изменение электрического поля E (частная производная) зависит от распределения в пространстве магнитного поля H (ротор). Аналогично, изменение поля H зависит от распределения в пространстве поля Е.
На этом наблюдении основан алгоритм Йи. Сетки для полей E и H смещены по отношению друг к другу на половину шага дискретизации времени и по каждой из пространственных переменных. Конечно-разностные уравнения позволяют определить поля E и H на данном временном шаге на основании известных значений полей на предыдущем.
При заданных начальных условиях алгоритм Йи дает эволюционное решение во времени от начала отсчета с заданным временным шагом.
Аналогичная (разделённая) сетка используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости).
Как и в любом другом разностном методе, в FDTD существует проблема неточного отображения границы тела на вычислительную сетку. Любая кривая поверхность, разделяющая соседние среды и геометрически не согласованная с сеткой, будет искажаться эффектом «лестничного приближения». Для решения данной проблемы можно использовать дополнительную сетку с большим разрешением в тех областях пространства, где расположены тела со сложной геометрической структурой[2]. Также можно видоизменять разностные уравнения в узлах сетки, находящихся вблизи границы между соседними телами[3]. Менее затратным методом является введение эффективной диэлектрической проницаемости вблизи границы между телами (subpixel smoothing) [4][5].
Численная схема FDTD не предполагает возможности табличного задания зависимости диэлектрической проницаемости от частоты. Однако, её можно представить в виде апроксимации (фитинга) членами Дебая, Друде, Лоренца или Лоренца с поглощением. Такая аппроксимация не обязательно имеет физический смысл, и может быть получена численно, например с помощью программы [6].
Поглощающие граничные условия править
Для того чтобы ограничить объем сетки, в FDTD нужны особые поглощающие граничные условия, которые моделируют уход электромагнитной волны на бесконечность. Для этого используются поглощающие граничные условия Мура или Ляо[7], или идеально согласованные слои (Perfect Matched Layers, PML). Условия Мура или Ляо намного проще, чем PML. Тем не менее, PML — строго говоря, являющиеся поглощающей приграничной областью, а не граничным условием как таковым — позволяют получить на порядки меньшие по величине коэффициенты отражения от границы.
Понятие идеально согласованных слоев (PML) было введено Жаном Пьером Беренже в статье журнала «The Journal of Computational Physics» в 1994 г.[8] Идея PML Беренже основывалась на разбиении исходных полей E и H на две компоненты, для каждой из которых должны решаться свои уравнения. Впоследствии были предложены усовершенствованные формулировки PML эквивалентные первоначальной формулировке Беренже. Так, в одноосном PML (Uniaxial PML) используется анизотропный поглощающий материал, что позволяет не вводить дополнительные переменные и остаться в рамках исходных уравнений Максвелла[9]. Однако одноосный PML, как и PML в формулировке Беренже, не удобны тем, что в них отсутствует поглощение затухающих волн, что не позволяет помещать PML близко к рассеивающим телам. Этого недостатка лишен оборотный PML (Convolutional PML), основанный на аналитическом продолжении уравнений Максвелла в комплексную плоскость таким образом, что их решение экспоненциально затухает[10]. CPML также удобнее в ограничении бесконечных проводящих и дисперсных сред. Помимо этого математическая формулировка CPML обладает большей наглядностью и доступностью для понимания.
В некоторых случаях использование PML приводит к расходимости расчета FDTD. Эту проблему можно устранить путём помещения за PML дополнительной поглощающей стенки[11].
Порядок расчёта FDTD править
Ход расчёта FDTD выглядит следующим образом:
- Задается счетная область, разрешение сетки и граничные условия. Граничные условия могут быть поглощающими или периодическими. Последние применяются для моделирования нормального падения плоской волны на периодическую структуру. Схема FDTD для моделирования наклонного падения требует периодических условий со сдвигом по времени, которые могут быть реализованы с помощью разных методов [12][13][14].
- Внутри счетной области помещаются материальные тела с заданными оптическими свойствами (диэлектрическая проницаемость и магнитная проводимость).
- Задается источник. Самый простой способ задания источника заключается в задании временной зависимости плотности тока J в уравнении Ампера. Такой тип источника обычно используется при моделировании диполей. Для генерации плоской волны более удобен другой тип источника, реализуемый с помощью метода полного и рассеянного поля (Total Field / Scattered Field).
- Источник генерирует конечную во времени электромагнитную волну, спектральный состав которой должен покрывать интересующий диапазон частот. Далее, волна падает на тела, перерассеивается на них, и, при наличии поглощающих граничных условий, через какое-то время уходит из счетной области. История распространения волны сохраняется.
- С помощью преобразования Фурье записанные значения полей переводятся в частотное представление. Далее, обрабатывая их (например, интегрируя поток энергии поля через какую-либо поверхность), можно получить оптические характеристики рассматриваемой структуры тел. Используя метод преобразования ближнего поля в дальнее (Near to Far Transformation), можно получить значения полей за пределами счетной области на основании эволюции поля внутри счетной области[15].
Достоинства и недостатки FDTD править
Как и любой другой численный метод, FDTD имеет свои достоинства и недостатки.
Достоинства:
- FDTD — это простой и интуитивно понятный метод.
- Поскольку FDTD работает во временной области, он позволяет получить результат для широкого спектра длин волн за один расчет. Это может быть полезно при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.
- FDTD позволяет создавать анимированные изображения распространения волны в моделируемом объеме.
- FDTD удобен при задании анизотропных, дисперсных и нелинейных сред.
- Метод позволяет непосредственно моделировать краевые эффекты и эффекты экранирования, причем поля внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.
Недостатки:
- Величина шага дискретизации по пространству должна быть значительно меньше исследуемых длин волн и типичных размеров исследуемой структуры. В некоторых случаях (инверсные опалы с маленькими перегородками между шариками) это может потребовать сеток с маленьким шагом, что означает большие затраты памяти и большое время расчета.
- FDTD рассчитывает поля внутри счетной области. Если требуется найти поле на большом расстоянии от источника, то необходимо увеличение счетной области и времени расчета. Существуют модификации метода для нахождения поля на удалении, но они требуют постобработки.
См. также править
- Уравнения Максвелла
- Электродинамика
- Разностная схема
- Численные методы
- Meep — пакет программного обеспечения с открытым исходным кодом, предназначенный для симуляции электромагнитных явлений методом конечных разностей во временной области.
Источники править
- ↑ Kane Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media (англ.) // IEEE Transactions on Antennas and Propagation : journal. — 1966. — Vol. 14, no. 3. — P. 302—307.
- ↑ S. S. Zivanovic, K. S. Yee, and K. K. Mei. A subgridding method for the Time Domain Finite-Difference Method to solve Maxwell's equations (англ.) // IEEE Trans. Microware Theory Tech. : journal. — 1991. — Vol. 38. — P. 471.
- ↑ T. G. Jurgens, A. Taflove, K. Umashankar, and T. G. Moore. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces (англ.) // IEEE Trans. Antennas Propag. : journal. — 1992. — Vol. 40. — P. 357.
- ↑ J. Nadobny, D. Sullivan, W. Wlodarczyk, P. Deuflhard, and P. Wust. A 3-D tensor FDTD-formulation for treatment of sloped interfaces in electrically inhomogeneous media (англ.) // IEEE Trans. Antennas Propag. : journal. — 2003. — Vol. 51. — P. 1760.
- ↑ A. Deinega and I. Valuev. Subpixel smoothing for conductive and dispersive media in the FDTD method (англ.) // Opt. Lett. : journal. — 2007. — Vol. 32. — P. 3429.
- ↑ Фитинг диэлектрической проницаемости. Дата обращения: 7 апреля 2012. Архивировано 9 июня 2012 года.
- ↑ G. Mur. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations (англ.) // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility : journal. — 1981. — Vol. 23, no. 4. — P. 377—382.
- ↑ J. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves (англ.) // Journal of Computational Physics : journal. — 1994. — Vol. 114, no. 2. — P. 185—200. Архивировано 2 ноября 2013 года.
- ↑ S. D. Gedney. An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices (англ.) // IEEE Transactions on Antennas and Propagation : journal. — 1996. — Vol. 44, no. 12. — P. 1630—1639.
- ↑ J. A. Roden and S. D. Gedney. Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media (англ.) // Microwave and Optical Technology Letters : journal. — 2000. — Vol. 27, no. 5. — P. 334—339. (недоступная ссылка)
- ↑ A. Deinega and I. Valuev. Long-time behavior of PML absorbing boundaries for layered periodic structures (англ.) // Comp. Phys. Comm. : journal. — 2011. — Vol. 182. — P. 149. Архивировано 12 июля 2017 года.
- ↑ I. Valuev, A. Deinega, and S. Belousov. Iterative technique for analysis of periodic structures at oblique incidence in the finite-difference time-domain method (англ.) // Opt. Lett. : journal. — 2008. — Vol. 33. — P. 1491.
- ↑ A. Aminian and Y. Rahmat-Samii. Spectral FDTD: a novel technique for the analysis of oblique incident plane wave on periodic structures (англ.) // IEEE Trans. Antennas and Propagation : journal. — 2006. — Vol. 54. — P. 1818.
- ↑ J. A. Roden, S. D. Gedney, M. P. Kesler, J. G. Maloney, and P. H. Harms. Time-domain analysis of periodic structures at oblique incidence: orthogonal and nonorthogonal FDTD implementations (англ.) // Microwave Theory and Techniques : journal. — 1998. — Vol. 46. — P. 420.
- ↑ K. R. Umashankar and A. Taflove. A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects (англ.) // IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility : journal. — 1982. — Vol. 24, no. 4. — P. 397—405. Архивировано 4 марта 2016 года.
Ссылки править
На русском править
- EMTL (Electromagnetic Template Library) (Бесплатная библиотека C++ для численных расчетов методом FDTD. Примеры расчетов, описание метода FDTD и самой библиотеки на русском языке.)
- FDTDpro от Александра Зеленина (Программа расчета электромагнитных полей методом FDTD. Описание работы с программой и хорошее подробное описание метода FDTD на русском языке.)
- ЖУРНАЛ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ №5, 2006г. (Численное моделирование двумерных фотонных кристаллов. Статья.)
На английском править
- https://www.matecdev.com/posts/differences-fdtd-fem-mom.html (Краткий обзор свободного софта по моделированию электромагнитных задач)
Этот раздел не завершён. |
Литература править
- Пионерские работы
- Kane Yee. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1966. — Vol. 14. — P. 302—307. — doi:10.1109/TAP.1966.1138693. Архивировано 26 февраля 2008 года.
- A. Taflove and M. E. Brodwin. Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1975. — Vol. 23. — P. 623—630. — doi:10.1109/TMTT.1975.1128640.
- A. Taflove and M. E. Brodwin. Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave-irradiated human eye (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1975. — Vol. 23. — P. 888—896. — doi:10.1109/TMTT.1975.1128708.
- R. Holland. Threde: A free-field EMP coupling and scattering code (англ.) // Nuclear Science, IEEE Transactions on : journal. — 1977. — Vol. 24. — P. 2416—2421. — doi:10.1109/TNS.1977.4329229.
- K. S. Kunz and K. M. Lee. A three-dimensional finite-difference solution of the external response of an aircraft to a complex transient EM environment (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1978. — Vol. 20. — P. 328—341. — doi:10.1109/TEMC.1978.303727.
- A. Taflove. Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1980. — Vol. 22. — P. 191—202. — doi:10.1109/TEMC.1980.303879.
- K. R. Umashankar and A. Taflove. A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1982. — Vol. 24. — P. 397—405. — doi:10.1109/TEMC.1982.304054.
- A. Taflove and K. R. Umashankar. Radar cross section of general three-dimensional scatterers (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1983. — Vol. 25. — P. 433—440. — doi:10.1109/TEMC.1983.304133.
- D. H. Choi and W. J. Hoefer. The finite-difference time-domain method and its application to eigenvalue problems (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1986. — Vol. 34. — P. 1464—1470.
- Граничные условия
- G. Mur. Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1981. — Vol. 23. — P. 377—382. — doi:10.1109/TEMC.1981.303970.
- Z. P. Liao, H. L. Wong, B. P. Yang, and Y. F. Yuan. A transmitting boundary for transient wave analysis (англ.) // Scientia Sinica a : journal. — 1984. — Vol. 27. — P. 1063—1076.
- J. Berenger. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves (англ.) // Journal of Computational Physics : journal. — 1994. — Vol. 114. — P. 185—200. — doi:10.1006/jcph.1994.1159. Архивировано 27 февраля 2008 года.
- D. S. Katz, E. T. Thiele, and A. Taflove. Validation and extension to three dimensions of the Berenger PML absorbing boundary condition for FDTD meshes (англ.) // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. — 1994. — Vol. 4. — P. 268—270.
- C. E. Reuter, R. M. Joseph, E. T. Thiele, D. S. Katz, and A. Taflove. Ultrawideband absorbing boundary condition for termination of waveguiding structures in FDTD simulations (англ.) // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. — 1994. — Vol. 4. — P. 344—346.
- Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R. Lee, and J. F. Lee. A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1995. — Vol. 43. — P. 1460—1463. — doi:10.1109/8.477075.
- S. D. Gedney. An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1995. — Vol. 44. — P. 1630—1639. — doi:10.1109/8.546249.
- O. M. Ramahi. The complementary operators method in FDTD simulations (англ.) // Antennas and Propagation Magazine, IEEE : journal. — 1997. — Vol. 39. — P. 33—45. — doi:10.1109/74.646801.
- J. A. Roden and S. D. Gedney. Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media (англ.) // Microwave and Optical Technology Letters : journal. — 2000. — Vol. 27. — P. 334—339. — doi:10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A. (недоступная ссылка)
- Проблемы геометрии (лестничная аппроксимация, разномасштабное моделирование)
- W. Gwarek. Analysis of an arbitrarily shaped planar circuit — A time-domain approach (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1985. — Vol. 33. — P. 1067—1072.
- G. A. Kriegsmann, A. Taflove, and K. R. Umashankar. A new formulation of electromagnetic wave scattering using an on-surface radiation boundary condition approach (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1987. — Vol. 35. — P. 153—161.
- T. G. Moore, J. G. Blaschak, A. Taflove, and G. A. Kriegsmann. Theory and application of radiation boundary operators (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1988. — Vol. 36. — P. 1797—1812.
- K. R. Umashankar, A. Taflove, and B. Beker. Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1987. — Vol. 35. — P. 1248—1257.
- A. Taflove, K. R. Umashankar, B. Beker, F. A. Harfoush, and K. S. Yee. Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1988. — Vol. 36. — P. 247—257.
- T. G. Jurgens, A. Taflove, K. R. Umashankar, and T. G. Moore. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1992. — Vol. 40. — P. 357—366.
- Сложные материалы (дисперсия, поглощение, нелинейность и т. д.)
- D. M. Sullivan, O. P. Gandhi, and A. Taflove. Use of the finite-difference time-domain method in calculating EM absorption in man models (англ.) // Biomedical Engineering, IEEE Transactions on : journal. — 1988. — Vol. 35. — P. 179—186.
- X. Zhang, J. Fang, K. K. Mei, and Y. Liu. Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time-domain finite-difference method (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1988. — Vol. 36. — P. 263—267. — doi:10.1109/22.3514.
- T. Kashiwa and I. Fukai. A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization (англ.) // Microwave and Optics Technology Letters : journal. — 1990. — Vol. 3. — P. 203—205.
- R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz, R. Standler, and M. Schneider. A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials (англ.) // Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on : journal. — 1990. — Vol. 32. — P. 222—227. — doi:10.1109/15.57116.
- R. M. Joseph, S. C. Hagness, and A. Taflove. Direct time integration of Maxwell’s equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses (англ.) // Optics Letters : journal. — 1991. — Vol. 16. — P. 1412—1414.
- P. M. Goorjian and A. Taflove. Direct time integration of Maxwell’s equations in nonlinear dispersive media for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons (англ.) // Optics Letters : journal. — 1992. — Vol. 17. — P. 180—182.
- R. W. Ziolkowski and J. B. Judkins. Full-wave vector Maxwell’s equations modeling of self-focusing of ultra-short optical pulses in a nonlinear Kerr medium exhibiting a finite response time (англ.) // Optical Society of America B, Journal of : journal. — 1993. — Vol. 10. — P. 186—198.
- R. M. Joseph, P. M. Goorjian, and A. Taflove. Direct time integration of Maxwell’s equations in 2-D dielectric waveguides for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons (англ.) // Optics Letters : journal. — 1993. — Vol. 18. — P. 491—493.
- R. M. Joseph and A. Taflove. Spatial soliton deflection mechanism indicated by FDTD Maxwell’s equations modeling (англ.) // Photonics Technology Letters, IEEE : journal. — 1994. — Vol. 2. — P. 1251—1254.
- B. Toland, B. Houshmand, and T. Itoh. Modeling of nonlinear active regions with the FDTD method (англ.) // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. — 1993. — Vol. 3. — P. 333—335. — doi:10.1109/75.244870.
- A. S. Nagra and R. A. York. FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1998. — Vol. 46. — P. 334—340. — doi:10.1109/8.662652.
- Прикладные расчёты
- J. G. Maloney, G. S. Smith, and W. R. Scott, Jr. Accurate computation of the radiation from simple antennas using the finite-difference time-domain method (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1990. — Vol. 38. — P. 1059—1065. — doi:10.1109/8.55618.
- D. S. Katz, A. Taflove, M. J. Piket-May, and K. R. Umashankar. FDTD analysis of electromagnetic wave radiation from systems containing horn antennas (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 1991. — Vol. 39. — P. 1203—1212.
- P. A. Tirkas and C. A. Balanis. Finite-difference time-domain technique for radiation by horn antennas (англ.) // Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE : journal. — 1991. — Vol. 3. — P. 1750—1753. — doi:10.1109/APS.1991.175196.
- E. Sano and T. Shibata. Fullwave analysis of picosecond photoconductive switches (англ.) // Quantum Electronics, IEEE Journal of : journal. — 1990. — Vol. 26. — P. 372—377. — doi:10.1109/3.44970.
- S. M. El-Ghazaly, R. P. Joshi, and R. O. Grondin. Electromagnetic and transport considerations in subpicosecond photoconductive switch modeling (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1990. — Vol. 38. — P. 629—637. — doi:10.1109/22.54932.
- M. J. Piket-May, A. Taflove, and J. Baron. FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1994. — Vol. 42. — P. 1514—1523.
- J. G. Maloney and M. P. Kesler. Analysis of Periodic Structures (неопр.) // Chap. 6 in Advances in Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, ed., Artech House, publishers. — 1998.
- S. C. Hagness, A. Taflove, and J. E. Bridges. Two-dimensional FDTD analysis of a pulsed microwave confocal system for breast cancer detection: Fixed-focus and antenna-array sensors (англ.) // Biomedical Engineering, IEEE Transactions on : journal. — 1998. — Vol. 45. — P. 1470—1479.
- J. J. Simpson, R. P. Heikes, and A. Taflove. FDTD modeling of a novel ELF radar for major oil deposits using a three-dimensional geodesic grid of the Earth-ionosphere waveguide (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 2006. — Vol. 54. — P. 1734—1741.
- Модификации метода (гибридные, безусловно устойчивые и т. д.)
- W. Sui, D. A. Christensen, and C. H. Durney. Extending the two-dimensional FDTD method to hybrid electromagnetic systems with active and passive lumped elements (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 1992. — Vol. 40. — P. 724—730. — doi:10.1109/22.127522.
- V. A. Thomas, M. E. Jones, M. J. Piket-May, A. Taflove, and E. Harrigan. The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for FDTD high-speed electronic circuit design (англ.) // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. — 1994. — Vol. 4. — P. 141—143.
- Q. H. Liu. The pseudospectral time-domain (PSTD) method: A new algorithm for solutions of Maxwell’s equations (англ.) // Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE : journal. — 1997. — Vol. 1. — P. 122—125. — doi:10.1109/APS.1997.630102.
- J. B. Schneider, and C. L. Wagner. FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation (англ.) // Microwave and Guided Wave Letters, IEEE : journal. — 1999. — Vol. 9. — P. 54—56. — doi:10.1109/75.755044.
- F. Zhen, Z. Chen, and J. Zhang. Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 2000. — Vol. 48. — P. 1550—1558. — doi:10.1109/22.869007.
- F. Zheng and Z. Chen. Numerical dispersion analysis of the unconditionally stable 3-D ADI-FDTD method (англ.) // Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on : journal. — 2001. — Vol. 49. — P. 1006—1009. — doi:10.1109/22.920165.
- T. Rylander and A. Bondeson. Stable FDTD-FEM hybrid method for Maxwell’s equations (англ.) // Computer Physics Communications : journal. — 2000. — Vol. 125. — P. 75—82. — doi:10.1016/S0010-4655(99)00463-4. (недоступная ссылка)
- M. Hayakawa and T. Otsuyama. FDTD analysis of ELF wave propagation in inhomogeneous subionospheric waveguide models (англ.) // ACES Journal : journal. — 2002. — Vol. 17. — P. 239—244. Архивировано 31 августа 2006 года.
- H. De Raedt, K. Michielsen, J. S. Kole, and M. T. Figge. Solving the Maxwell equations by the Chebyshev method: A one-step finite difference time-domain algorithm (англ.) // Antennas and Propagation, IEEE Transactions on : journal. — 2003. — Vol. 51. — P. 3155—3160. — doi:10.1109/TAP.2003.818809.