Метод прямоугольников

Метод прямоугольников — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке. Если рассмотреть график подынтегральной функции, то метод будет заключаться в приближённом вычислении площади под графиком суммированием площадей конечного числа прямоугольников, ширина которых будет определяться расстоянием между соответствующими соседними узлами интегрирования, а высота — значением подынтегральной функции в этих узлах. Алгебраический порядок точности равен 0. (Для формулы средних прямоугольников равен 1).

Если отрезок $\left[a,b\right]$ является элементарным и не подвергается дальнейшему разбиению, значение интеграла можно найти по

1. Формуле левых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(a)(b-a).$
2. Формуле правых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f(b)(b-a).$
3. Формуле прямоугольников (средних): $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx f\left({\frac {a+b}{2}}\right)(b-a).$

Составные квадратурные формулы

В случае разбиения отрезка интегрирования на $n$ элементарных отрезков приведённые выше формулы применяются на каждом из этих элементарных отрезков между двумя соседними узлами. В результате, получаются составные квадратурные формулы

1. Для левых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f(x_{i})(x_{i+1}-x_{i}).$
2. Для правых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}f(x_{i})(x_{i}-x_{i-1}).$
3. Для средних прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n-1}f\left({\frac {x_{i}+x_{i+1}}{2}}\right)(x_{i+1}-x_{i})=\sum _{i=1}^{n}f\left({\frac {x_{i-1}+x_{i}}{2}}\right)(x_{i}-x_{i-1}).$

Формулу с вычислением значения в средней между двумя узлами точке можно применять лишь тогда, когда подынтегральная функция задана аналитически, либо каким-нибудь иным способом, допускающим вычисление значения в произвольной точке. В задачах, где функция задана таблицей значений остаётся лишь вычислять среднее значение между интегралами, посчитанными по формулам левых и правых прямоугольников соответственно, что приводит к составной квадратурной формуле трапеций.

Поскольку составные квадратурные формулы являются ни чем иным, как суммами, входящими в определение интеграла Римана, при $n\to \infty$ они сходятся к точному значению интеграла. Соответственно, с увеличением $n$ точность получаемого по приближённым формулам результата возрастает.

Метод средних прямоугольников

Составные формулы для равномерных сеток

Равномерную сетку можно описать следующим набором формул:

$x_{i}=a+ih,\qquad h={\frac {b-a}{n}},$

где $h$ — шаг сетки.

Для равномерных сеток формулы прямоугольников можно записать в виде следующих формул Котеса:

1. Составная формула левых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=0}^{n-1}f_{i}=h(f_{0}+f_{1}+\ldots +f_{n-1}).$
2. Составная формула правых прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\sum _{i=1}^{n}f_{i}=h(f_{1}+f_{2}+\ldots +f_{n}).$
3. Составная формула средних прямоугольников: $\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx h(f_{0,5}+f_{1,5}+\ldots +f_{n-0,5}).$

Погрешность методов

Для формул правых и левых прямоугольников погрешность составляет

$E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}.$

Для формулы прямоугольников (средних)

$E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}.$

Для составных формул правых и левых прямоугольников на равномерной сетке:

$E(f)={\frac {f'(\xi )}{2}}h^{2}\cdot n={\frac {f'(\xi )}{2}}(b-a)h.$

Для составной формулы прямоугольников:

$E(f)={\frac {f''(\xi )}{24}}h^{3}\cdot n={\frac {f''(\xi )}{24}}(b-a)h^{2}.$

Пример реализации

Формула средних прямоугольников для аналитически заданной функции, написанная на С

double InFunction(double x) { //Подынтегральная функция
  return 0;

double CalcIntegral(double a, double b, int n) {
  double result = 0, h = (b - a) / n;
  
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    result += InFunction(a+h/2+i*h);
  }
  
  result *= h;
  return result;
}

См. также

• Формула Симпсона
• Метод трапеций
• Список квадратурных формул