Множество с отмеченной точкой

Множество с отмеченной точкой — множество $X$ с выделенной точкой $x_{0}\in X$. Отображения между множествами с отмеченной точкой — это функции, которые переводят одну отмеченную точку в другую, то есть отображения $f:X\to Y$, такие что $f(x_{0})=y_{0}$, иногда используется такое обозначение:

$f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})$.

Множества с отмеченной точкой можно определять как простую алгебраическую структуру. В терминах универсальной алгебры, это структуры с единственной нульарной операцией, которая выбирает отмеченную точку. Таким образом, алгебраические структуры с нульарными операциями являются множествами с отмеченной точкой, например, группа — множество с отмеченной точкой — нейтральным элементом, а гомоморфизмы групп сохраняют нейтральный элемент.

Класс множеств с отмеченной точкой и отображений, сохраняющих эту точку, образует категорию, в которой имеется нулевой объект — синглетон с выделенной точкой $(\{a\},a)$.

Литература

• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications (англ.). — Cambridge University Press, 2010. — Vol. 377. — P. 34. — (London Mathematical Society Lecture Note Series). — ISBN 0-521-73866-0.