Модель Изинга

Модель Изинга — математическая модель статистической физики, предназначенная для описания намагничивания материала.

Описание править

Каждой вершине кристаллической решётки (рассматриваются не только трёхмерные, но и одно- и двумерные случаи) сопоставляется число, называемое спином и равное +1 или −1 («поле вверх»/«поле вниз»). Каждому из   возможных вариантов расположения спинов (где   — число атомов решётки) приписывается энергия, получающаяся из попарного взаимодействия спинов соседних атомов:

 

где   — энергия взаимодействия (в простейшем случае одна и та же для всех пар соседних атомов). Иногда также рассматривается внешнее поле   (часто полагаемое малым):

 

Затем, для заданной обратной температуры[en]   на получившихся конфигурациях рассматривается распределение Гиббса: вероятность конфигурации полагается пропорциональной  , и исследуется поведение такого распределения при очень большом числе атомов  .

Например, в моделях с размерностью, большей 1, имеет место фазовый переход второго рода: при достаточно низких температурах большая часть спинов ферромагнетика (при  ) будет ориентирована (с близкой к 1 вероятностью) одинаково, а при высоких почти наверняка спинов «вверх» и «вниз» будет почти поровну. Температура, при которой происходит этот переход (иными словами, при которой исчезают магнитные свойства материала), называется критической, или точкой Кюри. В окрестности точки фазового перехода ряд термодинамических характеристик расходится. Опыт показывает, что расходимость имеет универсальный характер, и определяется лишь симметрией системы. Впервые критические индексы расходимостей были получены для двумерной модели Изинга в 40-х годах Л. Онсагером. Для остальных размерностей исследования проводятся с помощью методов компьютерного моделирования и ренормгруппы. Обоснованием применения ренормализационной группы в данном случае являются блочное построение Каданова и термодинамическая гипотеза подобия.

Введённая изначально для понимания природы ферромагнетизма, модель Изинга оказалась в центре разнообразных физических теорий, относящихся к критическим явлениям, жидкостям и растворам, спиновым стёклам, клеточным мембранам, моделированию иммунной системы, различным общественным явлениям и т. д. Кроме того, эта модель служит полигоном для проверки методов численного моделирования различных физических явлений.

Для одномерной и двумерной моделей Изинга получены точные решения: для одномерной модели самим Изингом, для двумерной — Онсагером в 1944 году[1].

Одномерная модель Изинга править

В случае одного измерения модель Изинга может быть представлена в виде цепочки взаимодействующих спинов. Для такой модели найдено точное решение, но в общем случае задача не имеет аналитического решения.

Алгоритм реализации модели Изинга методом Монте-Карло на компьютере править

  1. Создать решётку спинов (двумерный массив), спины ориентированы произвольно.
  2. Выбрать случайно одну из клеток решётки, стереть значение в ней.
  3. Вычислить энергии конфигураций при заполнении этой клетки спином вверх и вниз (либо при всех возможных состояниях, если их больше двух).
  4. Выбрать один из вариантов для «стёртого» спина случайно, с вероятностью, пропорциональной  , где   — энергия в соответствующем состоянии (поскольку все слагаемые, не затрагивающие данный спин, одни и те же, на самом деле вычислять нужно только суммы по соседям).
  5. Возвращаемся в пункт 2; по выполнении достаточного числа итераций (определение этого — отдельная и непростая задача) цикл прекращается.

Приложения править

В 1982 году Хопфилдом был доказан изоморфизм модели Изинга и рекуррентных моделей нейронных сетей[2].

Квантовый компьютер компании D-Wave Systems основан на модели Изинга. Однако эффективность компьютера вызывает вопросы, что явилось причиной новых исследований, цель которых корректно сравнить классические алгоритмы и алгоритмы для компьютеров DWave. Оказалось, что существуют задачи, на которых адиабатический квантовый компьютер заведомо не является эффективнее классического[3].

См. также править

Примечания править

Комментарии править

Источники править

Литература править

Книги править

  • Гельфер Я. М. История и методология термодинамики и статистической физики. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1981. — 536 с.
  • Белавин А.А., Кулаков А.Г., Усманов Р.А. Лекции по теоретической физике. — М.: МЦНМО, 2001. — 224 с. — ISBN 5-900916-91-X.
  • Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. — М.: Мир, 1985.
  • Хайкин С. Нейронные сети: полный курс. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2006. — 1104 с. — ISBN 5-8459-0890-6.
  • Займан Дж. Принципы теории твёрдого тела. — М.: Мир, 1974. — 472 с.

Научные статьи править