Мультииндекс (или мульти-индекс ) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики , связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.
Математическая запись мультииндекса
править
n -мерный мультииндекс — это вектор
α = ( α 1 , α 2 , … , α n ) , {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),} составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} и вектора x = ( x 1 , x 2 , … , x n ) ∈ R n {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} вводятся:
Покомпонентное сложение и вычитание α ± β = ( α 1 ± β 1 , α 2 ± β 2 , … , α n ± β n ) {\displaystyle \alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})} α ≤ β ⇔ α i ≤ β i ∀ i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}} Абсолютное значение как сумма компонентов | α | = α 1 + α 2 + ⋯ + α n {\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}} α ! = α 1 ! ⋅ α 2 ! ⋯ α n ! {\displaystyle \alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!} ( α β ) = ( α 1 β 1 ) ( α 2 β 2 ) ⋯ ( α n β n ) {\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}} x α = x 1 α 1 x 2 α 2 … x n α n {\displaystyle x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}} ∂ α = ∂ 1 α 1 ∂ 2 α 2 … ∂ n α n {\displaystyle \partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}} где ∂ i α i := ∂ α i / ∂ x i α i {\displaystyle \partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}} Некоторые приложения
править
Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:
Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:
( ∑ i = 1 n x i ) k = ∑ | α | = k k ! α ! x α {\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }}
Для гладких функций f и g
∂ α ( f g ) = ∑ ν ≤ α ( α ν ) ∂ ν f ∂ α − ν g . {\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.}
Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение
f ( x + h ) = ∑ α ∈ N 0 n ∂ α f ( x ) α ! h α . {\displaystyle f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.} Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора
f ( x + h ) = ∑ | α | ≤ n ∂ α f ( x ) α ! h α + R n ( x , h ) , {\displaystyle f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),} где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим
R n ( x , h ) = ( n + 1 ) ∑ | α | = n + 1 h α α ! ∫ 0 1 ( 1 − t ) n ∂ α f ( x + t h ) d t . {\displaystyle R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.}
Формальный оператор взятия частной производной N -го порядка в n -мерном пространстве записывается следующим образом:
P ( ∂ ) = ∑ | α | ≤ N a α ( x ) ∂ α . {\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.}
Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области Ω ⊂ R n {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} имеем:
∫ Ω u ( ∂ α v ) d x = ( − 1 ) | α | ∫ Ω ( ∂ α u ) v d x . {\displaystyle \int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.} Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных .
Пример использования в теореме
править
Если α , β ∈ N 0 n {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}} — это мультииндексы и x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} , то
∂ α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}} Доказательство
править
Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:
d α d x α x β = { β ! ( β − α ) ! x β − α if α ≤ β , 0 otherwise. ( 1 ) {\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)} Положим α = ( α 1 , … , α n ) {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})} , β = ( β 1 , … , β n ) {\displaystyle \beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})} и x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle x=(x_{1},\ldots ,x_{n})} . Тогда
∂ α x β = ∂ | α | ∂ x 1 α 1 ⋯ ∂ x n α n x 1 β 1 ⋯ x n β n = ∂ α 1 ∂ x 1 α 1 x 1 β 1 ⋯ ∂ α n ∂ x n α n x n β n . {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}} Здесь каждое дифференцирование ∂ / ∂ x i {\displaystyle \partial /\partial x_{i}} сводится к соответствующей обыкновенной производной d / d x i {\displaystyle d/dx_{i}} , так как для каждого i из {1, . . ., n }, функция x i β i {\displaystyle x_{i}^{\beta _{i}}} зависит только от x i {\displaystyle x_{i}} . Поэтому из уравнения (1) следует, что ∂ α x β {\displaystyle \partial ^{\alpha }x^{\beta }} исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n }.В противном случае (когда α ≤ β ) получаем
d α i d x i α i x i β i = β i ! ( β i − α i ) ! x i β i − α i {\displaystyle {\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}} для каждого i {\displaystyle i} .◻ {\displaystyle \Box }