Надстройка (топология)

В топологии, надстройкой над топологическим пространством $X$ с отмеченной точкой $x_{0}$ называется топологическое пространство $SX$, являющееся фактор-пространством пространства $X\times [0,1]$ полученное стягиванием подмножества $X\times 0$ в одну точку, а $X\times 1$ - в другую.

Приведённой надстройкой над топологическим пространством $X$ с отмеченной точкой $x_{0}$ называется топологическое пространство $SX$, являющееся фактор-пространством пространства $X\times [0,1]$ полученное стягиванием подмножества $(X\times 0)\cup (x_{0}\times [0,1])\cup (X\times 1)$ в одну точку.

Надстройка над окружностью. Исходное пространство отмечено синим, верхняя и нижняя точки зелёным.

Грубо говоря, надстройку можно себе представлять как цилиндр над пространством X, у которого отождествили в точку как верхнюю, так и нижнюю границу. Также можно рассматривать надстройку как объединение двух конусов (верхнего и нижнего) над пространством X, склееных по общему основанию.

Если $(x,t)\in X\times [0,1]$, то через $[x,t]$ обозначается соответствующая точка пространства $SX$ при проекции $X\times [0,1]\rightarrow SX$. Если $SX$ - приведённая надстройка, то $[x,0]=[x_{0},t]=[x',1]$ для всех $x,x'\in X,{\text{ }}t\in [0,1]$. Точка $[x_{0},0]\in SX$ обозначается через $x_{0}$ и $SX$ рассматривается как пространство с отмеченной точкой $x_{0}$.

Если задано отображение $f:X\rightarrow X'$, то формулой $Sf[x,t]=[f(x),t]$ определено отображение $Sf:SX\rightarrow SX'$. При этом $S$ - ковариантный функтор из категории пространств с отмеченной точкой и непрерывных отображений в категорию Н-когрупп и непрерывных гомоморфизмов. Пространство $SX$ является Н-когруппой с коумножением $\nu :SX\rightarrow SX\vee SX$, определённым формулой

$\nu ([x,t])={\begin{cases}([x,2t],x_{0}),&0\leq t\leq 1/2\\(x_{0},[x_{0},2t-1]),&1/2\leq t\leq 1\end{cases}}$.

Свойства

• Надстройка над пространством X гомеоморфна джойну $X\star S^{0}$ пространства X и двухточечного множества («нульмерной сферы») $S^{0}$.
• При $n\geq 0$ пространство $S(S^{n})$ гомеоморфно $S^{n+1}$.
• Гомологии надстройки оказываются тесно связаны с гомологиями исходного пространства, грубо говоря, отличаясь (исключая нульмерные) сдвигом на одну размерность. Более точно, приведённые гомологии в точности сдвигаются на одну размерность: ${\overline {H}}_{k}(SX)={\overline {H}}_{k-1}(X)$ для всех k.

См. также

• Теорема о двойной надстройке
• Конус (топология)
• Н-когруппа

Ссылки

• Записки лекций по теории гомологий, М.Э.Казарян
• Спеньер Э. - Алгебраическая топология (1971)