Наклонная плоскость

Наклонная плоскость — плоская поверхность, установленная под углом к горизонтали. Наклонная плоскость является одним из простых механизмов. Она позволяет поднимать груз вверх, прикладывая к нему усилие, заметно меньшее, чем сила тяжести, действующая на этот груз.

Здесь:
N = реакция опоры
m — Масса объекта
g — Ускорение свободного падения
θ (Тета) — Угол наклона плоскости
f = Сила трения
Направление силы f отвечает случаю покоя или движения тела вниз (при движении тела вверх направление f было бы противоположным)

Примерами наклонных плоскостей служат пандусы и трапы. Принцип наклонной плоскости можно видеть также в клине и производных от него колющих и режущих инструментах (от иголки до плуга), а также в винте.

Движение по наклонной плоскости

Уравнение второго закона Ньютона для движения тела по наклонной плоскости записывается как

$m{\vec {a}}={\vec {N}}+m{\vec {g}}+{\vec {f}}$,

где $m$ — масса тела, ${\vec {a}}$ — вектор ускорения, ${\vec {N}}$ — сила нормальной реакции (воздействия) опоры, ${\vec {g}}$ — ускорение свободного падения, ${\vec {f}}$ — сила трения, по величине равная $\mu N$ при движении и $mg\sin \theta$ в покое. Предполагается, что компоненты скорости в направлении перпендикулярном плоскости рисунка, а также дополнительных сил нет.

Тело может осуществлять равноускоренное движение с ускорением

$a=g(\sin \theta +\mu \cos \theta )$ — при подъёме по наклонной плоскости;

$a=g(\sin \theta -\mu \cos \theta )$ — при спуске с наклонной плоскости;

здесь $\mu$ — коэффициент трения тела о поверхность, $\theta$ — угол наклона плоскости.

Характер движения тела, помещённого на наклонную плоскость без придания ему начальной скорости, зависит от соотношения между углом $\theta$ и критическим углом $\theta _{crit}$ ($\tan \theta _{crit}=\mu$). Тело будет покоиться, если угол наклона плоскости $\theta$ меньше критического угла, и равноускоренно спускаться, если $\theta >\theta _{crit}$. В особом случае, когда угол наклона плоскости $\theta$ равен 90°, $a=g$ и тело падает вдоль стены. В другом особом случае — когда угол наклона плоскости равен 0° и она параллельна земле — тело не может двигаться без приложения внешней силы.

Подъём при каком бы то ни было $\theta$ и спуск при $\theta <\theta _{crit}$ реализуемы только если у тела есть начальная скорость (направленная, соответственно, вверх или вниз). При подъёме тело через некоторое время остановится, а затем либо останется в покое (если $\theta <\theta _{crit}$), либо самостоятельно начнёт спускаться (если $\theta >\theta _{crit}$). При спуске в условиях $\theta <\theta _{crit}$, ставшем возможным за счёт начальной скорости, также произойдёт остановка.

При $\theta =\theta _{crit}$ и наличии начальной скорости, направленной вниз, тело должно спускаться с этой скоростью без ускорения.

Для углов близких к $\theta _{crit}$ скажется несовершенство приближения постоянства коэффициента трения. Реально, коэффициент трения в покое (определяющий предел силы трения покоя $f_{stat,max}=(mg\sin \theta )_{max}=\mu _{stat}N$) немного отличается, чаще в бóльшую сторону, от $\mu$, из-за чего критический угол для запуска движения немного больше, чем для самого движения. Нередко, как в рассуждениях выше, такой деталью пренебрегают.

См. также

Видеоурок: наклонная плоскость

• Клин
• Коэффициент трения