Смешанный объём — числовая характеристика набора из выпуклых тел в -мерном евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора обычно обозначается

.

Определение

править

Пусть   набор из   выпуклых тел в   и   положительные вещественные числа. Обозначим через   объём тела

 

где « » обозначает сумму Минковского и

 

Функция   является однородным многочленом степени  . Коэффициент этого многочлена при   по определению равен  .

Заметим, что

 

Свойства

править
  • Для произвольных неотрицательных чисел  ,
     
  • Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
  • Смешанный объём монотонен по включению тел.
  • Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
  • Смешанный объём неотрицателен.
    • Более того,   тогда и только тогда, когда в каждом   можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
  • Для неотрицательного целого   смешанный объём   копий выпуклого тела   в   и   копий единичного шара выражается через  -тую среднюю поперечную меру  . В частности
    • Смешанный объём набора из   копий   равен обычному объёму  .
    • Смешанный объём набора из   копий   и единичного шара равен   площади поверхности  .
  • Типичное число решений системы полиномиальных уравнений   равно смешанному объёму многогранников Ньютона  .
  • неравенство Минковского
     
  • неравенство Александрова — Фенхеля
     

См. также

править

Литература

править