Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой $p$-й степенью.

Формулировка

Пусть $(X,{\mathcal {F}},\mu )$ — пространство с мерой, и функции $f,g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, то есть $\int \limits _{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty ,\;\int \limits _{X}|g|^{p}\,d\mu <\infty$, где $p\geq 1$, и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда $f+g\in L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$, и более того:

$\left(\int \limits _{X}|f(x)+g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}\leq \left(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}+\left(\int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{1/p}.$

Доказательство

Сначала докажем, что

$f,g\in L^{p}(E)\Rightarrow |f+g|^{p}$ суммируема на $E$.

Введём множества: $E_{1}=E[|f|\geq |g|]\quad E_{2}=E[|f|<|g|]$.

$\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{1}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu .$
$\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq \int \limits _{E_{2}}(|f|+|g|)^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu .$

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E_{1}}|f+g|^{p}d\mu +\int \limits _{E_{2}}|f+g|^{p}d\mu \leq 2^{p}\int \limits _{E_{1}}|f|^{p}d\mu +2^{p}\int \limits _{E_{2}}|g|^{p}d\mu <\infty .$

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu =\int \limits _{E}|f+g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu +\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu ;$

$|f|\in L^{p},|f+g|^{p-1}=|f+g|^{p/q}\in L^{q}\Rightarrow$ можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

$\int \limits _{E}|f||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p},$
$\int \limits _{E}|g||f+g|^{p-1}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{(p-1)q}d\mu \right)^{1/q}=\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.$

Таким образом:

$\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \leq \left(\int \limits _{E}|f|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}+\left(\int \limits _{E}|g|^{p}d\mu \right)^{1/p}\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}.$

Делим левую и правую части на $\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}$.

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда $\left(\int \limits _{E}|f+g|^{p}d\mu \right)^{1-1/p}=0$ неравенство очевидно, так как справа стоят неотрицательные числа.

Замечание

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве $L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )$ можно ввести норму:

$\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{1/p},$

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаи

Евклидово пространство

Рассмотрим Евклидово пространство $E=\mathbb {R} ^{n}$ или $\mathbb {C} ^{n}$. $L^{p}$-норма в этом пространстве имеет вид:

$\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\top },$

и тогда

$\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}+y_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{i=1}^{n}|y_{i}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in E.$

Если $n=2,3$ и $p=2$, то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство l^p

Пусть $X=\mathbb {N} ,\,{\mathcal {F}}=2^{\mathbb {N} },\,m$ — счётная мера на $\mathbb {N}$. Тогда множество всех последовательностей $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$, таких что

$\|x\|_{p}=(\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p})^{1/p}<\infty ,$

называется $l^{p}$. Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

$\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}+y_{n}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|y_{n}|^{p}\right)^{1/p},\;\forall x,y\in l^{p}.$

Вероятностное пространство

Пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство. Тогда $L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ состоит из случайных величин с конечным $p$-м моментом: $\mathbb {E} \left[|X|^{p}\right]<\infty$, где символ $\mathbb {E}$ обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

$\left(\mathbb {E} |X+Y|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\mathbb {E} |X|^{p}\right)^{1/p}+\left(\mathbb {E} |Y|^{p}\right)^{1/p}.$

Литература

• Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1973. — 352 с.

См. также

• Пространство Lp
• Минковский, Герман
• Неравенство Гёльдера