Нормальная матрица

Нормальная матрица — комплексная квадратная матрица $A$, коммутирующая со своей эрмитово-сопряжённой матрицей:

$A^{*}A=AA^{*}$.

Для вещественной матрицы $A$ имеет место $A^{*}=A^{T}$, и поэтому она нормальна, если $A^{T}A=AA^{T}$.

Нормальность является удобным тестом приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица $A$, удовлетворяющая уравнению $A^{*}A=AA^{*}$, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы $A$ и $B$ называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица $S$, для которой $A=S^{-1}BS$.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например:

$A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}$

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку:

$AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A$.

Эквивалентные определения

Существует большой набор эквивалентных определений нормальной матрицы, в частности, следующие высказывания эквивалентны:

• $A$ нормальна;
• $A$ является приводимой к диагональной форме с помощью унитарной матрицы;
• все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы $A$;
• $\left\|Ax\right\|=\left\|A^{*}x\right\|$ для любого $x$.
• норму Фробениуса матрицы $A$ можно вычислить по собственным значениям матрицы $A$: $\operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}$;
• эрмитова часть $(A+A^{*})/2$ и косоэрмитова часть $(A-A^{*})/2$ матрицы $A$ коммутируют;
• $A^{*}$ является многочленом (степени менее $n$ — размера матрицы) от $A$;
• $A^{*}=AU$ для некоторой унитарной матрицы $U$.
• $U$ и $P$ коммутируют, где $U$ и $P$ представляют полярное разложение $A=UP$ на унитарную матрицу $U$ и некую положительно определённую матрицу $P$;
• $A$ коммутирует с некоторой нормальной матрицей $N$, имеющей различные собственные значения;
• $\sigma _{i}=\left|\lambda _{i}\right|$ для всех $1\leqslant i\leqslant n$, где $A$ имеет сингулярные числа $\sigma _{1}\geqslant \dots \geqslant \sigma _{n}$ и собственные значения $\left|\lambda _{1}\right|\geqslant \dots \geqslant \left|\lambda _{n}\right|$
• операторная норма нормальной матрицы $A$ равна числовому и спектральному радиусу матрицы $A$; это означает:

  $\sup _{\|x\|=1}\|Ax\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}$.

Многие из этих определений можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах, но не все, например, ограниченный оператор, удовлетворяющий условию коммутируемости компонент полярного разложения, является в общем случае лишь квазинормальным.

Свойства

Нормальная треугольная матрица диагональна.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей; однако если $A$ и $B$ нормальны и выполнено $AB=BA$, то и $AB$, и $A+B$ также нормальны. Более того, существует унитарная матрица $U$, такая, что $UAU^{*}$ и $UBU^{*}$ диагональны. Другими словами, $A$ и $B$ совместно приводимы к диагональной форме.

В этом частном случае столбцы матрицы $U^{*}$ являются собственными векторами, как $A$, так и $B$, и образуют ортонормальный базис в $\mathbb {C} ^{n}$. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Связь со спектральной теоремой

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема: матрица $A$ нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица $\Lambda$ и унитарная матрица $U$, такие что $A=U\Lambda U^{*}$. Диагональные элементы матрицы $\Lambda$ являются собственными числами, а столбцы $U$ — собственными векторами матрицы $A$. (Собственные значения в $\Lambda$ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в $U$).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства $\mathbb {C} ^{n}$. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с $\mathbb {C} ^{n}$ и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в $\mathbb {C} ^{n}$.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть $A$ — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, $B$. Если $A$ нормальна, то и $B$ нормальна тоже. Но тогда $B$ должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

• нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости;
• нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в $\mathbb {R}$.

Аналогии

Можно рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналоги различных видов комплексных чисел:

• обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел;
• эрмитово-сопряжённая матрица является аналогом сопряжённого числа;
• Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной $1$;
• эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел;
• эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел;
• антиэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел.

Можно комплексные числа вложить в нормальные вещественные матрицы размера $2\times 2$ путём отображения:

$a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$,

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение и все соответствующие аналогии между видами нормальных матриц и видами комплексных чисел.

Ссылки

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.