Нуль функции

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $f$, заданной формулой

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

$f(x)=x^{2}-6x+9\,.$

$x=3$ является нулём, поскольку

$f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена

Основная статья: Корень многочлена

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb {C}$ функции $f$ — точка $z_{0}\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_{0})g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_{0}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка $k$ голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb {C}$ функции $f$ — точка $z_{0}\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_{0}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.