Ортогональный базис

Ортогона́льный (ортонорми́рованный) ба́зис — ортогональная (ортонормированная) система элементов линейного пространства со скалярным произведением, обладающая свойством полноты.

Ортонормированный базис в 3-мерном евклидовом пространстве

Конечномерный случай

Мнемоническое правило для определения ориентации базиса. Слева — левоориентированный базис, справа — правоориентированный.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов. Ортонормированный базис удовлетворяет ещё и условию единичности нормы всех его элементов. То есть это ортогональный базис с нормированными элементами.

Последнее удобно записывается при помощи символа Кронекера:

$(e_{i},e_{j})=\delta _{ij},$

то есть скалярное произведение каждой пары базисных векторов равно нулю, когда они не совпадают ($i\neq j$), и равно единице при совпадающем индексе, то есть когда берется скалярное произведение любого базисного вектора с самим собой.

Очень многое записывается в ортогональном базисе гораздо проще, чем в произвольном, поэтому очень часто стараются использовать именно такие базисы, если только это возможно или использование какого-то специального неортогонального базиса не дает особых специальных удобств. Или если не отказываются от него в пользу базиса общего вида из соображений общности.

Ортонормированный базис является самодуальным (дуальный ему базис совпадает с ним самим). Поэтому в нём можно не делать различия между верхними и нижними индексами, и пользоваться, скажем, только нижними (как обычно и принято, если конечно при этом используются только ортонормированные базисы).

Линейная независимость следует из ортогональности, то есть достигается для ортогональной системы векторов автоматически.

Коэффициенты в разложении вектора по ортогональному базису:

$\ \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e_{1}} +a_{2}\mathbf {e_{2}} +\ldots +a_{n}\mathbf {e_{n}}$

можно найти так:

$\ a_{i}={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )}{(\mathbf {e_{i}} ,\mathbf {e_{i}} )}}.$

Полнота ортонормированной системы векторов эквивалентна равенству Парсеваля: для любого вектора $\mathbf {a}$ квадрат нормы вектора равен сумме квадратов коэффициентов его разложения по базису:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )=\sum _{i}(\mathbf {a} ,\mathbf {e_{i}} )^{2},$

Аналогичные соотношения имеют место и для бесконечномерного случая (см. ниже).

Бесконечномерный случай

Ортогональный базис — система попарно ортогональных элементов $e_{1},e_{2},...,e_{n},...$ гильбертова пространства $X$ такая, что любой элемент $x\in X$ однозначно представим в виде сходящегося по норме ряда

$x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n},$

называемого рядом Фурье элемента $x$ по системе $\{e_{n}\}$.

Часто базис $\{e_{n}\}$ выбирается так, что $|e_{n}|=1$, и тогда он называется ортонормированным базисом. В этом случае числа $a_{n}$, называются коэффициентами Фурье элемента $x$ по ортонормированному базису $\{e_{n}\}$, имеют вид

$a_{n}=(x,e_{n})$.

Необходимым и достаточным условием того, чтобы ортонормированная система $\{e_{n}\}$ была базисом, является равенство Парсеваля.

Гильбертово пространство, имеющее ортонормированный базис, является сепарабельным, и обратно, во всяком сепарабельном гильбертовом пространстве существует ортонормированный базис.

Если задана произвольная система чисел $\{a_{n}\}$ такая, что $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{2}<\infty$, то в случае гильбертова пространства с ортонормированным базисом $\{e_{n}\}$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}$ — сходится по норме к некоторому элементу $x\in X$. Этим устанавливается изоморфизм любого сепарабельного гильбертова пространства пространству $l_{2}$ (теорема Рисса — Фишера).

Примеры

• Стандартный базис $e_{1}=(1,0,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },e_{2}=(0,1,\ldots ,0)^{\mathrm {T} },\ldots e_{n}=(0,0,\ldots ,1)^{\mathrm {T} }$ в n-мерном евклидовом пространстве Rⁿ является ортонормированным.

• Множество $\{f_{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{inx},n\in \mathbb {Z} \}$ образует ортонормированный базис в $L^{2}([-\pi ,\pi ])$.

Литература

• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965.

См. также

• Ортонормированная система
• Ортогонализация
• Процесс Грама ― Шмидта
• Флаг (математика)