Отрезок

Эта статья — о понятии в геометрии и математическом анализе. О насильно отрезанных от крестьянских наделов землях см. Отрезки (земля).

Отре́зком называются два близких понятия: в геометрии и математическом анализе.

Отрезок AB (выделен красным)

Отрезок в геометрии

В евклидовом пространстве отрезок прямой — часть прямой, ограниченная двумя точками. Точнее: это множество, состоящее из двух различных точек данной прямой (которые называются концами отрезка) и всех точек, лежащих между ними (которые называются его внутренними точками). Отрезок, концами которого являются точки $A$ и $B$, обозначается символом $AB$. Расстояние между концами отрезка называют его длиной и обозначают $AB$ или $|AB|$.

Направленный отрезок

Основная статья: Вектор (математика)

Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: то есть отрезки $AB$ и $BA$ представляют собой один и тот же отрезок. Если у отрезка определить направление, то есть порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным, или вектором. Например, направленные отрезки $AB$ и $BA$ не совпадают. Отдельного обозначения для направленных отрезков нет — то, что у отрезка важно его направление, обычно указывается особо.

Это приводит к понятию свободного вектора — класса всех возможных векторов, отличающихся друг от друга только параллельным переносом, которые принимаются равными.

Отрезок числовой прямой

Основная статья: Промежуток (математика)

Отрезок числовой (координатной) прямой (иначе числовой отрезок, сегмент) — множество вещественных чисел $\{x\}$, удовлетворяющих неравенству $a\leq x\leq b$, где заранее заданные вещественные числа $a$ и $b$ $(a<b)$ называются концами (граничными точками) отрезка. В противоположность им, остальные числа $x$, удовлетворяющие неравенству $a<x<b$, называются внутренними точками отрезка.

Отрезок обычно обозначается $[a,b]$:

$[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}$.

Любой отрезок, по определению, заведомо включён в множество вещественных чисел. Отрезок является замкнутым промежутком.

Число $|a-b|=b-a$ называется длиной числового отрезка $[a,b]$.

Стягивающаяся система сегментов

Система сегментов — это бесконечная последовательность элементов множества отрезков на числовой прямой $\{[a,b]|a,b\in \mathbb {R} \land a<b\}$.

Система сегментов обозначается $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$. Подразумевается, что каждому натуральному числу $n$ поставлен в соответствие отрезок $[a_{n},b_{n}]$.

Система сегментов $\{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }$ называется стягивающейся, если

• каждый следующий отрезок содержится в предыдущем;

  $\forall n\in \mathbb {N} \colon [a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_{n},b_{n}]$

• соответствующая последовательность длин отрезков бесконечно мала.

  $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$

У любой стягивающейся системы сегментов существует единственная точка, принадлежащая всем сегментам этой системы.

$\forall \{[a_{n},b_{n}]\}_{n=1}^{\infty }~\exists !c\in \mathbb {R} ~\forall n\in N\colon c\in [a_{n},b_{n}],$ где $\forall$ — квантор всеобщности.

Этот факт следует из свойств монотонной ограниченной последовательности.

См. также

• Интервал
• Промежуток
• Алгоритмы построения отрезка
• Прямая