Как и для криволинейных интегралов, существуют два рода поверхностных интегралов.

Поверхностный интеграл первого рода править

Определение править

Пусть   — гладкая, ограниченная полная поверхность. Пусть далее на   задана функция  . Рассмотрим разбиение   этой поверхности на части   кусочно-гладкими кривыми и на каждой такой части выберем произвольную точку  . Вычислив значение функции в этой точке   и, приняв за   площадь поверхности  , рассмотрим сумму

 

Тогда число   называется пределом сумм  , если

 

Предел   сумм   при   называется поверхностным интегралом первого рода от функции   по поверхности   и обозначается следующим образом:

 

Параметрическая форма править

Пусть на поверхности   можно ввести единую параметризацию посредством функций

 

заданных в ограниченной замкнутой области   плоскости   и принадлежащих классу   в этой области. Если функция   непрерывна на поверхности  , то поверхностный интеграл первого рода от этой функции по поверхности   существует и может быть вычислен по формуле

 

где:

 
 
 

Свойства править

Из определения поверхностного интеграла первого рода следует независимость этого интеграла от выбора ориентации векторного поля единичных нормалей к поверхности или, как говорят, от выбора стороны поверхности. Пусть функции   и   интегрируемы по областям  . Тогда:

  1. Линейность:   для любых вещественных чисел  .
  2. Аддитивность:   при условии, что   и   не имеют общих внутренних точек.
  3. Монотонность:
    • если  , то  ;
    • для  , если  , то  .
  4. Теорема о среднем для непрерывной функции   и замкнутой ограниченной поверхности  :
     , где  , а   — площадь области  .

Поверхностный интеграл второго рода править

Определение править

Рассмотрим двустороннюю поверхность  , гладкую или кусочно-гладкую, и фиксируем какую-либо из двух её сторон, что равносильно выбору на поверхности определенной ориентации.

Для определенности предположим сначала, что поверхность задана явным уравнением   причём точка   изменяется в области   на плоскости  , ограниченной кусочно-гладким контуром.

Пусть теперь в точках данной поверхности   определена некоторая функция  . Разбив поверхность сетью кусочно-гладких кривых на части   и выбрав на каждой такой части точку  , вычислим значение функции   в данной точке и умножим его на площадь   проекции на плоскость   элемента  , снабженную определенным знаком. Составим интегральную сумму

 

Конечный предел этой интегральной суммы при стремлении диаметров всех частей к нулю называют поверхностным интегралом второго рода от

 

распространённым на выбранную сторону поверхности  , и обозначают символом

 

(здесь   напоминает о площади проекции элемента поверхности на плоскость  ).

Если вместо плоскости   спроектировать элементы поверхности на плоскость   или  , то получим два других поверхностных интеграла второго типа:

  или  

В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех этих видов:

 

где   суть функции от  , определённые в точках поверхности  .

Связь между поверхностными интегралами второго и первого рода править

 

где   — единичный вектор нормали поверхности  ,   — орт.

Свойства править

  1. Линейность:  .
  2. Аддитивность:  .
  3. При изменении ориентации поверхности поверхностный интеграл меняет знак.

См. также править

Литература править

  • Фихтенгольц, Г. М. Глава 17. Поверхностные интегралы // [Курс дифференциального и интегрального исчисления]. — Т. 3.
  • Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 5. Поверхностные интегралы // Основы математического анализа. — Т. 2. — (Курс высшей математики и математической физики).

Ссылки править