Последовательность

Последовательность в математике — пронумерованный набор каких-либо объектов, среди которых допускаются повторения, причём порядок объектов имеет значение. Нумерация чаще всего происходит натуральными числами. Обычно (особенно в математическом анализе) под последовательностью понимается бесконечная последовательность, при этом конечные последовательности в некоторых случаях также рассматриваются.

Наиболее часто изучаемый объект в классическом математическом анализе — числовая последовательность, в геометрии, в современных направлениях алгебры и анализа и приложениях изучаются также и нечисловые последовательности (например, последовательности элементов различных метрического пространства, временны́е ряды нечисловой природы, последовательности состояний систем управления и автоматов.

Формально последовательность определяется как отображение $s\colon \mathbb {N} \to X$ множества натуральных чисел $\mathbb {N}$ в заданное множество $X$ (элементов множества $X$) произвольной природы. Образ натурального числа $n$, а именно элемент $x_{n}=s(n)$, называется $n$-м членом последовательности, а порядковый номер $n$ члена последовательности $x_{n}$ — его индексом.Подмножество $s\left[\mathbb {N} \right]$ множества $X$, которое образовано элементами последовательности, называется носителем последовательности. Существует ряд обобщений, позволяющих нумеровать последовательности не только натуральными числами.

Подпоследовательностью последовательности $(x_{n})$ называется зависящая от $k$ последовательность $(x_{n_{k}})$, где $(n_{k})$ — возрастающая последовательность натуральных чисел. Подпоследовательность можно получить из изначальной последовательности, выкинув из неё некоторые члены.

Основные способы конструктивного задания последовательностей — аналитический, где формула определяет последовательность $n$-го члена, например: $a_{n}={\frac {n}{n+1}}$, и рекуррентный, например числа Фибоначчи, где любой член последовательности выражается через предшествующие: $a_{1}=0,a_{2}=1,a_{n+2}=a_{n}+a_{n+1}$.

Основные вопросы, возникающие при изучении последовательностей:

• определение того, конечна или бесконечна данная последовательность (например, на 2020 год известно 51 простое число Мерсенна, но не доказано, что больше таких чисел нет);
• поиск закономерностей среди членов последовательности, поиск точной аналитической или рекуррентной формулы для последовательностей, определённых свойством;
• поиск аналитической формулы, которая может служить хорошим приближением для $n$-го члена последовательности (например, для $n$-го простого числа неплохое приближение даёт формула: $n\ln(n)$, и существуют и более точные);
• прогноз будущих состояний, в первую очередь выяснение вопроса, сходится ли данная последовательность к конечному или бесконечному пределу.

Примеры

Многочлен от одной переменной $a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$ можно рассматривать как конечную последовательность его коэффициентов, или бесконечную — в предположении $a_{i}=0$ при $i>n$.

Одной из наиболее известных нетривиальных бесконечных числовых последовательностей является последовательность простых чисел.

Каждому действительному числу может быть сопоставлена собственная последовательность, называемая цепной дробью — причём для рациональных чисел она всегда конечна, для алгебраических иррациональных чисел бесконечна (для квадратичных иррациональностей — периодична), а для трансцендентных чисел бесконечна и не периодична, хотя отдельные числа и могут встречаться в ней бесконечное число раз. Например, цепная дробь для числа ${\frac {13}{9}}$ конечна и равна $[1;2,4]$, а цепная дробь числа $\pi$ уже бесконечна, не периодична и выглядит следующим образом: $[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]$.

Любое отображение множества $\mathbb {N}$ в себя также является последовательностью.

В геометрии часто рассматривается последовательность правильных многоугольников, форма которых зависит только от количества вершин.

Последовательность может состоять даже из множеств — к примеру, можно составить последовательность, в которой на $n$-ой позиции находится множество всех многочленов степени $n$ с целыми коэффициентами от одной переменной.

Нотация

Последовательности вида:

$x_{1},x_{2},x_{3},\dots$

принято компактно записывать при помощи круглых скобок:

$(x_{n})$ или $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$.

Иногда используются фигурные скобки:

$\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$.

Конечные последовательности могут записываться в следующем виде:

$(x_{n})_{n=1}^{N}$.

Также последовательность может быть записана как:

$(f(n))$,

если функция $f$ была определена ранее, или же её обозначение может быть заменено на саму функцию. Например, при $f(n)=n^{3}$ последовательность можно записать в виде $(n^{3})$.

Жёлтая ромашковая головка, показывающая расположение в 21 (синяя) и 13 (аква) спиралей. Такие схемы, включающие последовательности чисел Фибоначчи, встречаются у самых разных растений

Вариации и обобщения

Члены последовательности не обязательно должны нумероваться натуральными числами — к примеру, последовательность Фибоначчи может быть продолжена на отрицательные целые числа.

Существуют и так называемые многомерные последовательности, нумеруемые элементами декартова произведения $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots \times \mathbb {N}$. К таким относится, например, многомерное расширение последовательности Туэ — Морса. Также многочлен от нескольких переменных $x_{1},x_{2},\dots x_{n-1},x_{n}$ можно рассматривать как конечную $n$-мерную последовательность, где на позиции $i_{1},i_{2},\dots i_{n-1},i_{n}$ находится коэффициент при произведении $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\dots x_{n-1}^{i_{n-1}}x_{n}^{i_{n}}$.

Трансфинитная последовательность — последовательность, нумеруемая всеми порядковыми числами до заданного ординала.

См. также

• Иерархия
• Направленность (математика)

Литература

• Последовательность — статья из Математической энциклопедии. Л. Д. Кудрявцев
• Последовательность // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — С. 242-245. — 352 с.