Уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера
править
Стационарное уравнение Шрёдингера с потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:
−
ℏ
2
2
m
Ψ
″
(
x
)
+
ℏ
2
2
m
a
2
(
ϰ
(
ϰ
−
1
)
sin
2
a
x
+
λ
(
λ
−
1
)
cos
2
a
x
)
Ψ
(
x
)
=
E
Ψ
(
x
)
.
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\left({\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}+{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x).}
Если ввести обозначение
k
=
2
m
E
/
ℏ
2
{\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}
Ψ
″
(
x
)
+
(
k
2
−
a
2
ϰ
(
ϰ
−
1
)
sin
2
a
x
−
a
2
λ
(
λ
−
1
)
cos
2
a
x
)
Ψ
(
x
)
=
0.
{\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-a^{2}{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{\sin ^{2}ax}}-a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\cos ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.}
После замены переменных
y
=
sin
2
a
x
{\displaystyle y=\sin ^{2}ax}
получим
y
(
1
−
y
)
Ψ
″
(
y
)
+
(
1
2
−
y
)
Ψ
′
(
y
)
+
1
4
(
k
2
a
2
−
ϰ
(
ϰ
−
1
)
y
−
λ
(
λ
−
1
)
1
−
y
)
Ψ
(
y
)
=
0.
{\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {k^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\varkappa (\varkappa -1)}{y}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{1-y}}\right)\Psi (y)=0.}
Так как точки 0 и 1 являются особыми, то естественно представить решение в виде:
Ψ
(
y
)
=
y
μ
(
1
−
y
)
ν
f
(
y
)
{\displaystyle \Psi (y)=y^{\mu }(1-y)^{\nu }f(y)}
Если выбрать
μ
=
ϰ
2
,
ν
=
λ
2
,
{\displaystyle \mu ={\frac {\varkappa }{2}},\qquad \nu ={\frac {\lambda }{2}},}
то уравнение приведётся к гипергеометрическому виду:
y
(
1
−
y
)
f
″
(
y
)
+
(
(
ϰ
+
1
2
)
−
y
(
ϰ
+
λ
+
1
)
)
f
′
(
y
)
+
1
4
(
ϰ
2
a
2
+
(
ϰ
+
λ
)
2
)
f
(
y
)
=
0.
{\displaystyle y(1-y)f''(y)+\left(\left(\varkappa +{\frac {1}{2}}\right)-y\left(\varkappa +\lambda +1\right)\right)f'(y)+{\frac {1}{4}}\left({\frac {\varkappa ^{2}}{a^{2}}}+(\varkappa +\lambda )^{2}\right)f(y)=0.}
Общее решение данного уравнения может быть выражено через гипергеометрические функции :
f
(
y
)
=
C
1
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
y
)
+
C
2
y
1
−
c
2
F
1
(
a
+
1
−
c
,
b
+
1
−
c
;
2
−
c
;
y
)
,
{\displaystyle f(y)=C_{1}\;_{2}F_{1}(a,b;c;y)+C_{2}y^{1-c}\;_{2}F_{1}(a+1-c,b+1-c;2-c;y),}
где введены обозначения:
a
=
1
2
(
ϰ
+
λ
+
k
a
)
,
b
=
1
2
(
ϰ
+
λ
−
k
a
)
,
c
=
ϰ
+
1
2
.
{\displaystyle a={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda +{\frac {k}{a}}\right),\quad b={\frac {1}{2}}\left(\varkappa +\lambda -{\frac {k}{a}}\right),\quad c=\varkappa +{\frac {1}{2}}.}
Если учесть граничные условия :
Ψ
(
0
)
=
Ψ
(
1
)
=
0
,
{\displaystyle \Psi (0)=\Psi (1)=0,}
то получим собственные функции
Ψ
n
(
x
)
=
C
1
sin
ϰ
(
a
x
)
cos
λ
(
a
x
)
2
F
1
(
−
n
,
ϰ
+
λ
+
n
;
ϰ
+
1
2
;
sin
2
a
x
)
,
{\displaystyle \Psi _{n}(x)=C_{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax),}
где константа вычисляется с учётом нормировки:
C
1
=
(
∫
0
1
sin
ϰ
(
a
x
)
cos
λ
(
a
x
)
2
F
1
(
−
n
,
ϰ
+
λ
+
n
;
ϰ
+
1
2
;
sin
2
a
x
)
d
x
)
−
1
2
.
{\displaystyle C_{1}=\left(\int \limits _{0}^{1}\sin ^{\varkappa }(ax)\cos ^{\lambda }(ax)\;_{2}F_{1}(-n,\varkappa +\lambda +n;\varkappa +{\frac {1}{2}};\sin ^{2}ax)dx\right)^{-{\frac {1}{2}}}.}
Соответствующие уровни энергии равны:
E
n
=
−
ℏ
2
2
m
(
ϰ
+
λ
+
2
n
)
2
,
n
∈
Z
+
.
{\displaystyle E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}(\varkappa +\lambda +2n)^{2},\quad n\in \mathbb {Z} _{+}.}
↑ G. Pöschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (нем.) // Zeitschrift für Physik. — 1933. — Bd. 83 , Nr. 3-4 . — S. 143–151 . — doi :10.1007/BF01331132 .
З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. 
