Десятиугольник

Правильный десятиугольник

Сторон и вершин	10
Символ Шлефли	{10}
Внутренний угол	144°
Симметрия	Диэдрическая ( $D_{10}$ ), порядок 20.

Десятиуго́льник (правильный десятиугольник — декагон) — многоугольник с десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник править

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t — длина стороны):

$A={\frac {5}{2}}t^{2}\ ctg{\frac {\pi }{10}}={\frac {5t^{2}}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\approx 7.694208842938134t^{2}.$

Альтернативная формула $A=2.5dt$ , где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

$d=2t\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right),$

и может быть представлен в радикалах как

$d=t{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность, равна ${\tfrac {{\sqrt {5}}-1}{2}}={\tfrac {1}{\varphi }}$ , где $\varphi$ - золотое сечение.

Радиус описанной окружности десятиугольника равен

$R={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}t,$

а радиус вписанной окружности

$r={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}t.$

Построение править

Построение правильного десятиугольника.^[1]

По теореме Гаусса — Ванцеля правильный десятиугольник возможно построить, используя лишь циркуль и линейку. На диаграмме показано одно из таких построений. Иначе его можно построить следующим образом:

Построить сначала правильный пятиугольник.
Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника править

Гарольдом Коксетером было доказано, что правильный $2m$ -угольник (в общем случае - $2m$ -угольный зоногон) можно разбить на ${\frac {m(m-1)}{2}}$ ромбов. Для декагона $m=5$ , так что он может быть разбит на 10 ромбов.

Разбиение правильного десятиугольника

Пространственный десятиугольник править

Правильные пространственные десятиугольники
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }
Пятиугольная антипризма	Пентаграммная антипризма	Пентаграммная антипризма с перекрёстом

Пространственный десятиугольник — пространственный многоугольник с десятью рёбрами и вершинами, но не лежащими в одной плоскости. У пространственного зиг-заг десятиугольника вершины чередуются между двумя параллельными плоскостями.

У правильного пространственного десятиугольника все рёбра равны. В трёхмерном пространстве это зиг-заг пространственный декагон, он может быть обнаружен среди рёбер и вершин пентагональной антипризмы, пентаграммной антипризмы, пентаграммной перекрещивающейся антипризмы с той же D_5d [2⁺,10] симметрией порядка 20.

Его также можно найти в некоторых выпуклых многогранниках с икосаэдрической симметрией. Многоугольники по периметру этих проекций (см. ниже) это пространственные десятиугольники.

Ортогональные проекции многогранников
Додекаэдр	Икосаэдр	Икосододекаэдр	Ромботриаконтаэдр

Многоугольники Петри править

Правильный пространственный десятиугольник — это многоугольник Петри для многих многогранников высших размерностей, как показано на этих ортогональных проекциях на различных плоскостях Коксетера.