Признак сравнения

Признак сравнения — утверждение об одновременности расходимости или сходимости двух рядов, основанный на сравнении членов этих рядов.

Формулировка

Пусть даны два знакоположительных ряда:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$

.

Тогда, если, начиная с некоторого места ($n>N$), выполняется неравенство:

$0\leqslant a_{n}\leqslant b_{n}$,

то из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Или же, если ряд $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ расходится, то расходится и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$.

Доказательство

Обозначим $\sigma _{n}$ частные суммы ряда $\sum b_{k}$. Из неравенств $(*)$ следует, что $0\leqslant s_{n}\leqslant \sigma _{n},\forall n.$ Поэтому из ограниченности $(\sigma _{n})$ вытекает ограниченность $(s_{n}),$ а из неограниченности $(s_{n})$ следует неограниченность $(\sigma _{n}).$ Справедливость признака вытекает из критерия сходимости для $\sum b_{k}.$

Признак сравнения отношений

Также признак сравнения можно сформулировать в более удобной форме — в виде отношений.

Формулировка

Если для членов строго положительных рядов $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$, начиная с некоторого места ($n>N$), выполняется неравенство:

${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leqslant {\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}$,

то из сходимости ряда $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, а из расходимости $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ следует расходимость $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$.

Доказательство

Перемножая неравенства, составленные для $k=1,2,...,n-1$, получаем

${\frac {a_{n}}{a_{1}}}\leqslant {\frac {b_{n}}{b_{1}}},$ или $a_{n}\leqslant {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{n},\forall n.$

Дальше достаточно применить признак сравнения для положительных рядов $\sum a_{k}$ и $\sum {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\,b_{k}$ (и учесть, что постоянный множитель не влияет на сходимость).

Предельный признак сравнения

Поскольку достоверно установить справедливость этого неравенства при любых n — довольно сложная задача, то на практике признак сравнения обычно используется в предельной форме.

Формулировка

Если $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ и $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ есть строго положительные ряды и

$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$,

то при $0\leqslant c<\infty$ из сходимости $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует сходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$, а при $0<c\leqslant \infty$ из расходимости $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ следует расходимость $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Доказательство

Из $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=c$ мы знаем, что для любого $\varepsilon >0$ существует $n_{0}$ такое, что для всех $n\geq n_{0}$ мы имеем $\left|{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c\right|<\varepsilon$, или, что то же самое:

$-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}-c<\varepsilon$

$c-\varepsilon <{\frac {a_{n}}{b_{n}}}<c+\varepsilon$

$(c-\varepsilon )b_{n}<a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$

Так как $c>0$, мы можем взять $\varepsilon$ достаточно малым, чтобы $c-\varepsilon$ было положительным. Но тогда $b_{n}<{\frac {1}{c-\varepsilon }}a_{n}$, и по вышеописанному признаку сравнения если $\sum _{n}a_{n}$ сходится, то сходится и $\sum _{n}b_{n}$.

Точно так же $a_{n}<(c+\varepsilon )b_{n}$, и тогда, если $\sum _{n}b_{n}$ сходится, то сходится и $\sum _{n}a_{n}$.

Таким образом либо оба ряда сходятся, либо они оба расходятся.

Литература

• Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.
• Г. М. Фихтенгольц. Теоремы сравнения рядов // Основы математического анализа. — СПб.: Лань, 2001. — Т. 2. — С. 17-19. — 464 с. — ISBN 5-8114-0191-4.

Ссылки

• http://www.math24.ru/comparison-tests.html