Преобразование Ханкеля

В математике преобразование Ханкеля порядка $\nu$ функции $f(r)$ задаётся формулой

$F_{\nu }(k)=\int \limits _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)r\,dr,$

где $J_{\nu }$ — функция Бесселя первого рода порядка $\nu ,$ и $\nu \geqslant -1/2$. Обратным преобразованием Ханкеля функции $F_{\nu }(k)$ называют выражение

$f(r)=\int \limits _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\,dk,$

которое можно проверить с помощью ортогональности, описанной ниже.

Преобразование Ханкеля является интегральным преобразованием. Оно было изобретено Германом Ханкелем и известно также под именем преобразование Бесселя — Фурье.

Область определения

Преобразование Ханкеля функции $f(r)$ верно для любых точек на интервале $(0,\infty )$, в которых функция $f(r)$ непрерывна или кусочно-непрерывна с конечными скачками, и интеграл

$\int \limits _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{1/2}\,dr$

конечен.

Возможно также расширить это определение (подобно тому, как это делается для преобразования Фурье), включив в него некоторые функции, интеграл которых бесконечен (например, $f(r)=r$).

Ортогональность

Функции Бесселя формируют ортогональный базис с весом $r$:

$\int \limits _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)r\,dr={\frac {\delta (k-k')}{k}}$

для $k,k'>0$.

Преобразование Ханкеля некоторых функций

$f(r)$	$F_{0}(k)$
$1$	$\delta (k)/k$
$r$	$-1/k^{3}$
$r^{3}$	$9/k^{5}$
$r^{m}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma (m/2+1)}{k^{m+2}\Gamma (-m/2)}}$ для нечётных m, $0$ для чётных m.
$e^{iar}$	${\frac {-ia{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}}{(k^{2}-a^{2})^{2}}}$
$e^{a^{2}r^{2}/2}$	${\frac {-e^{k^{2}/2a^{2}}}{a^{2}}}$

См. также

• Преобразование Фурье

Ссылки

• Gaskill, Jack D., «Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics», John Wiley & Sons, New York, 1978. ISBN 0-471-29288-5.
• Polyanin, A. D. and Manzhirov, A. V., Handbook of Integral Equations, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4.