Призма (геометрия)

При́зма (-угольная) (лат. prisma от др.-греч. πρίσμα «нечто отпиленное») — многогранник, две грани которого являются конгруэнтными (равными) многоугольниками (-угольниками), лежащими в параллельных плоскостях, а остальные граней — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.

Множество однородных призм
Шестиугольная призма
Шестиугольная призма
Тип Однородный многогранник
Свойства вершинно транзитивный
выпуклый многогранник
Комбинаторика
Элементы
3n ребра
2n вершины
Грани Всего - 2+n
2{n}
n {4}
Конфигурация вершины 4.4.n
Двойственный многогранник Бипирамида
Классификация
Символ Шлефли {n}×{} or t{2, n}
Диаграмма Дынкина node_12node_1nnode
Группа симметрии Dnh[en], [n,2], (*n22), порядок 4n
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы, а оставшиеся два многоугольника называются её основаниями.

Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная; пятиугольник — пятиугольная (пентапризма) и т. д.

Призма является частным случаем цилиндра в общем смысле (некругового).

Элементы призмы править

Название Определение Обозначения на чертеже Чертеж
Основания Две грани, являющиеся конгруэнтными многоугольниками, лежащими в параллельных друг другу плоскостях.  ,  
 
Призма
Боковые грани Все грани, кроме оснований. Каждая боковая грань обязательно является параллелограммом.  ,  ,  ,  ,  
Боковая поверхность Объединение боковых граней.
Полная поверхность Объединение оснований и боковой поверхности.
Боковые рёбра Общие стороны боковых граней.  ,  ,  ,  ,  
Высота Отрезок, соединяющий плоскости, в которых лежат основания призмы и перпендикулярный этим плоскостям.  
Диагональ Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.  
Диагональная плоскость Плоскость, проходящая через боковое ребро призмы и диагональ основания.  
Диагональное сечение Пересечение призмы и диагональной плоскости. В сечении образуется параллелограмм, в том числе его частные случаи — ромб, прямоугольник, квадрат.  
Перпендикулярное (ортогональное) сечение Пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной её боковому ребру.

Свойства призмы править

  • Основания призмы являются равными многоугольниками.
  • Боковые грани призмы являются параллелограммами.
  • Боковые рёбра призмы параллельны и равны.
  • Объём призмы равен произведению её высоты на площадь основания:
 
  • Объём призмы с правильным n-угольным основанием равен
  (здесь s — длина стороны многоугольника).
  • Площадь полной поверхности призмы равна сумме площади её боковой поверхности и удвоенной площади основания.
  • Площадь боковой поверхности произвольной призмы  , где   — периметр перпендикулярного сечения,   — длина бокового ребра.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы  , где   — периметр основания призмы,   — высота призмы.
  • Площадь боковой поверхности прямой призмы с правильным  -угольным основанием равна
 
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым рёбрам призмы.
  • Углы перпендикулярного сечения — это линейные углы двугранных углов при соответствующих боковых рёбрах.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно ко всем боковым граням.
  • Двойственным многогранником прямой призмы является бипирамида.

Виды призм править

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма — это призма, у которой боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания, откуда следует, что все боковые грани являются прямоугольниками[1].

Прямая прямоугольная призма называется также прямоугольным параллелепипедом. Символ Шлефли такой призмы — { }×{ }×{ }.

Правильная призма — это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы — равные прямоугольники.

Правильная призма, боковые грани которой являются квадратами (высота которой равна стороне основания), является полуправильным многогранником. Символ Шлефли такой призмы — t{2,p}.
 
Усечённая треугольная призма
Прямые призмы с правильными основаниями и одинаковыми длинами рёбер образуют одну из двух бесконечных последовательностей полуправильных многогранников (другую последовательность образуют антипризмы).

Наклонными называются призмы, рёбра которых не перпендикулярны плоскости основания.

Усечённая призма — многогранник, который отсекается от призмы непараллельной основанию плоскостью[2]. Усечённая призма сама призмой не является.

Диаграммы Шлегеля править

 
Треугольная
призма
 
4-угольная
призма
 
5-угольная
призма
 
6-угольная
призма
 
7-угольная
призма
 
8-угольная
призма

Симметрия править

Группой симметрии прямой  -угольной призмы с правильным основанием является группа Dnh порядка 4n, за исключением куба, который имеет группу симметрии Oh[en] порядка 48, содержащую три версии D4h в качестве подгрупп. Группой вращений[en] является Dn порядка 2n, за исключением случая куба, для которого группой вращений является группа O[en] порядка 24, имеющая три версии D4 в качестве подгрупп.

Группа симметрии Dnh включает центральную симметрию в том и только в том случае, когда n чётно.

Обобщения править

Призматические многогранники править

Призматический многогранник — это обобщение призмы в пространствах размерности 4 и выше.  -мерный призматический многогранник конструируется из двух (n − 1)-мерных многогранников, перенесённых в следующую размерность.

Элементы призматического n-мерного многогранника удваиваются из элементов (n − 1)-мерного многогранника, затем создаются новые элементы следующего уровня.

Возьмём  -мерный многогранник с элементами   (i-мерная грань, i = 0, …, n). Призматический ( )-мерный многогранник будет иметь   элементов размерности i (при  ,  ).

По размерностям:

  • Берём многоугольник с   вершинами и   сторонами. Получим призму с 2  вершинами, 3  рёбрами и   гранями.
  • Берём многогранник с v вершинами, e рёбрами и f гранями. Получаем (4-мерную) призму с 2v вершинами,   рёбрами,   гранями и   ячейками.
  • Берём 4-мерный многогранник с v вершинами, e рёбрами, f гранями и c ячейками. Получаем (5-мерную) призму с 2v вершинами,   рёбрами,   (2-мерными) гранями,   ячейками и   гиперячейками.

Однородные призматические многогранники править

Правильный  -многогранник, представленный символом Шлефли {p, q, ..., t}, может образовать однородный призматический многогранник размерности (n + 1), представленный прямым произведением двух символов Шлефли: {p, q, ..., t}×{}.

По размерностям:

  • Призма из 0-мерного многогранника — это отрезок, представленный пустым символом Шлефли {}.
  • Призма из 1-мерного многогранника — это прямоугольник, полученный из двух отрезков. Эта призма представляется как произведение символов Шлефли {}×{}. Если призма является квадратом, запись можно сократить: {}×{} = {4}.
    •  Пример: Квадрат, {}×{}, два параллельных отрезка, соединённые двумя другими отрезками, сторонами.
  • многоугольная призма — это 3-мерная призма, полученная из двух многоугольников (один получен параллельным переносом другого), которые связаны прямоугольниками. Из правильного многоугольника {p} можно получить однородную n-угольную призму, представленную произведением {p}×{}. Если p = 4, призма становится кубом: {4}×{} = {4, 3}.
  • 4-мерная призма, полученная из двух многогранников (один получен параллельным переносом другого), со связывающими 3-мерными призматическими ячейками. Из правильного многогранника {pq} можно получить однородную 4-мерную призму, представленную произведением {pq}×{}. Если многогранник является кубом и стороны призмы тоже кубы, призма превращается в тессеракт: {4, 3}×{} = {4, 3, 3}.

Призматические многогранники более высоких размерностей также существуют как прямые произведения двух любых многогранников. Размерность призматического многогранника равна произведению размерностей элементов произведения. Первый пример такого произведения существует в 4-мерном пространстве и называется дуопризмами, которые получаются произведением двух многоугольников. Правильные дуопризмы представляются символом {p}×{q}.

Семейство правильных призм
Многоугольник                        
Мозаика                
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4

Скрученная призма и антипризма править

Скрученная призма — это невыпуклый призматический многогранник, полученный из однородной q-угольной путём деления боковых граней диагональю и вращения верхнего основания, обычно на угол   радиан (  градусов), в направлении, при котором стороны становятся вогнутыми[3][4].

Скрученная призма не может быть разбита на тетраэдры без введения новых вершин. Простейший пример с треугольными основаниями называется многогранником Шёнхардта.

Скрученная призма топологически идентична антипризме, но имеет половину симметрий: Dn, [n,2]+, порядка 2n. Эту призму можно рассматривать как выпуклую антипризму, у которой удалены тетраэдры между парами треугольников.

Треугольная Четырёхугольные 12-угольная
 
Многогранник Шёнхардта
 
Скрученная квадратная антипризма
 
Квадратная антипризма
 
Скрученная двенадцатиугольная антипризма

Связанные многогранники и мозаики править

Семейство правильных призм
Многоугольник                        
Мозаика                
Конфигурация 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 17.4.4 ∞.4.4
Семейство выпуклых куполов
n 2 3 4 5 6
Название {2} || t{2} {3} || t{3} {4} || t{4} {5} || t{5} {6} || t{6}
Купол  
Диагональный купол
 
Трёхскатный купол
 
Четырёхскатный купол
 
Пятискатный купол
 
Шестискатный купол
(плоский)
Связанные
однородные
многогранники
Треугольная призма
     
Кубооктаэдр
     
Ромбокубо-
октаэдр

     
Ромбоикосо-
додекаэдр

     
Ромботри-
шестиугольная
мозаика
[en]
     

Симметрии править

Призмы топологически являются частью последовательности однородных усечённых многогранников с конфигурациями вершин (3.2n.2n) и [n,3].

Призмы топологически являются частью последовательности скошенных многогранников с вершинными фигурами (3.4.n.4) и мозаик на гиперболической плоскости. Эти вершинно транзитивные фигуры имеют (*n32) зеркальную симметрию[en].

Соединение многогранников править

Существует 4 однородных соединения треугольных призм:

Соединение четырёх треугольных призм[en], соединение восьми треугольных призм[en], соединение десяти треугольных призм[en], соединение двенадцати треугольных призм[en].

Соты править

Существует 9 однородных сот, включающих ячейки в виде треугольных призм:

Связанные многогранники править

Треугольная призма является первым многогранником в ряду полуправильных многогранников[en]. Каждый последующий однородный многогранник содержит в качестве вершинной фигуры предыдущий многогранник. Торольд Госсет[en] идентифицировал эту серию в 1900 как содержащую все фасеты правильных многомерных многогранников, все симплексы и ортоплексы (правильные треугольники и квадраты для случая треугольных призм). В нотации Коксетера треугольная призма задаётся символом −121.

Четырёхмерное пространство править

Треугольная призма служит ячейкой во множестве четырёхмерных однородных 4-мерных многогранников[en], включая:

тетраэдральная призма[en]
       
октаэдральная призма[en]
       
кубооктаэдральная призма[en]
       
икосаэдральная призма[en]
       
икосододекаэдральная призма[en]
       
усечённая додекаэдральная призма[en]
       
           
ромбоикоси-
додекаэдральная призма
[en]
       
ромбокуб-
октаэдральная призма
[en]
       
усечённая кубическая призма[en]
       
плосконосая додекаэдральная призма[en]
       
n-угольная антипризматическая призма[en]
       
         
скошенный 5-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 5-ячейник[en]
       
обструганный 5-ячейник[en]
       
струг-усечённый 5-ячейник[en]
       
скошенный тессеракт[en]
       
скошено-усечённый тессеракт[en]
       
обструганный тессеракт[en]
       
струг-усечённый тессеракт[en]
       
               
скошенный 24-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 24-ячейник[en]
       
обструганный 24-ячейник[en]
       
струг-усечённый 24-ячейник[en]
       
скошенный 120-ячейник[en]
       
скошено-усечённый 120-ячейник[en]
       
обструганный 120-ячейник[en]
       
струг-усечённый 120-ячейник[en]
       
               

См. также править

Примечания править

  1. Kern, Bland, 1938, с. 28.
  2. Усечённая призма // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  3. Gorini, 2003, с. 172.
  4. Рисунки скрученных призм. Дата обращения: 28 января 2019. Архивировано 29 января 2019 года.

Литература править

  • William F. Kern, James R. Bland. Solid Mensuration with proofs. — 1938.
  • Catherine A. Gorini. The facts on file: Geometry handbook. — New York: Infobase Publishing, 2003. — (Facts on file). — ISBN 0-8160-4875-4.
  • Anthony Pugh. Chapter 2: Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms // Polyhedra: A visual approach. — California: University of California Press Berkeley, 1976. — ISBN 0-520-03056-7.

Ссылки править