Если существует такое , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство:
-
то ряд сходится.
Если же , начиная с некоторого , то ряд расходится.
Формулировка в предельной форме
править
Если существует предел:
-
то при ряд сходится, а при — расходится.
Замечание. Если , то признак Шлёмильха не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
Сравнение с признаком Раабе
править
Признак Шлёмильха позволяет установить сходимость некоторых рядов, для которых неприменим признак Раабе[1]. Например, для ряда:
- ,
соотношение соседних членов:
- ;
признак Раабе для него даёт:
- ,
а признак Шлёмильха:
-
Аналогично, признак Бертрана также подтверждает сходимость этого ряда:
- .
Однако, признак Шлёмильха менее чувствителен, чем признак Бертрана. Например, он не позволяет установить сходимость ряда:[1]
-
Для него соотношение соседних членов:
-
Признак Раабе для него даёт:
- ,
также, как и признак Шлёмильха:
-
С другой стороны, признак Бертрана однозначно указывает на сходимость этого ряда:
- .