Принцип симметрии Шварца

Формулировка

Принцип симметрии в основном применяется для аналитического продолжения функций, которые аналитичны на некотором множестве $\Omega \subset \mathbb {C} .$ Далее, пусть множество $D=\partial \Omega \cap \mathbb {R}$ непусто, и на этом множестве функция принимает исключительно вещественные значения.

Тогда можно осуществить аналитическое продолжение функции $f$ с множества $\Omega$ на большее множество $\Omega \cup {\overline {\Omega }}$, где ${\overline {\Omega }}=\{z:{\overline {z}}\in \Omega \}$, с помощью следующей функции:

$F(z)=f(z)$ при $z\in \Omega$

$F(z)={\overline {f({\overline {z}})}}$ при $z\in {\overline {\Omega }}$

Пользуясь принципом соответствия границ, можно доказать более общее утверждение, которое обычно фигурирует в специальной литературе под тем же названием.

Обобщение

Допустим, что заданы области $\Omega _{1},\Omega _{2}\subset \mathbb {C}$, далее, $\gamma _{1}\subset \partial \Omega _{1},\gamma _{2}\subset \partial \Omega _{2}$ — дуги обобщенных окружностей. Обозначим через $\Omega _{1}^{*}$ область, которая симметрична $\Omega _{1}$ относительно $\gamma _{1}$, аналогично определяется $\Omega _{2}^{*}$. Теперь, если $f$ конформно отображает $\Omega _{1}$ на $\Omega _{2}$, притом $f(\gamma _{1})=\gamma _{2}$, тогда $f$ может быть аналитически продолжена до конформного отображения $\Omega _{1}\cup \gamma _{1}\cup \Omega _{1}^{*}$ на $\Omega _{2}\cup \gamma _{2}\cup \Omega _{2}^{*}$.

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.